Title: Alte Karten / Algebra-I

Def: Gruppenaxiome

Def: abelsche Gruppe

Def: Gruppenisomorphismus

Def: Gruppenordnung

Def: Diedergruppen

Def: Untergruppe

Def: triviale Untergruppen

Prop: Schnitt von Grupppen

Def: Ordnung von Gruppenelement

Faktum: Charakterisierung endlicher Ordnung

Def: erzeugte Untergruppe

Def: zyklische Gruppe

Thm: Untergruppen von zyklischen Gruppen

Def: Nebenklassen

Lemma: Eigenschaften von Nebenklassen

Def: Quotientengruppe

Lemma: Nebenklassen gleich oder disjunkt

Def: Index einer Untergruppe

Thm. Satz von Lagrange

Korollar: aus Lagrange

Def: konjugierte Untergruppe

Def: Normalteiler

Prop: Charakterisierung Normalteiler

Prop: Schnitt UG und Normalteiler

Def: Zentralisator

Prop: Eigenschafte Zentralisator

Def: Zentrum

Prop: Eigenschaften Zentrum

Def: Inneres Produkt von Untergruppen

Prop: Kardinalität inneres Produkt

Thm: Inneres Prdukt mit Normalteiler bildet Untergruppe

Def: einfache Gruppe

Prop: Produkt von Nebenklassen eines Normalteilers

Prop: Quotient von Normalteiler bildet Gruppe

Def: auflösbare Gruppe

Def: Gruppenoperation

Def: Gruppenhomomorphismus

Def: Symmetriegruppe einer Menge

Thm: Gruppenoperation entspricht Hom. auf Symmetriegruppe

Def: Orbit und Stabilisator

Thm: Eigenschaften von Orbit und Stabilisator

Def: Fixpunkt einer Gruppenoperation

Lemma: Gruppenordnung via Zentrum und Zentralisatoren

Prop: Gruppe mit Ordnung p^2

Def: Festhaltor

Prop: nicht-Burnside

Def: Gruppenmorphismen

Prop: Erhaltung Gruppenstruktur via Gruppenhomomorphismus

Prop: Gruppenautomorphismen bildetn Gruppe

Def: Kern eines Gruppenhomomorphismus

Thm: Kern ist Normalteiler

Lemma: Projektion auf Nebenklassen

Korollar: Existenz Gruppenhomomorphismus mit Normalteiler als Kern

Thm: Erster Isomorphiesatz über Gruppen

Thm: Zweiter Isomorphiesatz über Gruppen

Thm: Dritter Isomorphiesatz über Gruppen

Def: Cayley-Graph

Lemma: "dim" endlich erzeugter Gruppen

Def: Generatoren

Lemma: Gruppengeneratoren Austauschlemma

Thm: Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Korollar: Variante Hptsatz endlich erzeugte abelsche Gruppen (Rang und Torsionsgruppe)

Lemma: Sylow Lemma

Def: Sylow p-Untergruppe

Thm: Sylow

Korollar: Sylow Korollar

Def: Permutationsgruppe

Thm: Satz von Cayley

Prop: Permutation ist k-Potent

Def: k-Zyklus

Def: disjunkte Zykeln

Lemma: komm. disjunkte Zyklen

Prop: Darstellung Permutation als Produkt von disjunkten Zyklen

Def: Zyklenzerlegung

Prop: Ordnung von Zykel via Zyklenzerlegung

Prop: Konjugation Zyklenzerlegung

Def: Transposition, gerade & ungerade

Lemma: Signatur k-Zykel

Def: alternierende Gruppe

Lemma: A_n bildet Normalteiler von S_n

Prop: Generator der Alternierenden Gruppe

Lemma: A_5 ist einfach

Thm: A_n ist einfach (n>=5)

Lemma: binäre Operation auf Inneres Produkt von UG und Normalteiler

Prop: Konjugationshomomorphismus auf Aut(N)

Prop: Gruppe isomorph zu inneren semidirektem Produkt

Def: inneres semidirektes Produkt

Thm: äusseres semidirektes Produkt

Def: äussers semidirektes Produkt

Korollar: äusseres semidirektes Produkt entspricht innerem

Lemma: semidirektes Pordukt abelsch

Def: Ring und Körper

Def: Unterring

Def: Ringhomomorphismus

Lemma: Bild von Rinhomomorphismus

Def: Nullteiler

Def: Integritätsring

Def: Einheit

Def: direkte Summe von Ringen

Lemma: Einheitengruppe von Z/nZ

Def: Ideal

Korollar: Charakterisierung eines Ideals

Def: Quotientenring

Def: erzeugtes Ideal

Def: Hauptideal, Hauptidealring

Prop: Bedingungen Ring (komm&nicht-trivial) ist Körper

Def: Summe und Produkt von Idealen

Lemma: Eigenschaften Summe und Produkte von Idealen

Lemma: Eindeutiger Ringhomomorphismus von Quotientenring

Korollar: Eindeutiger Ringhomomorphismus_von_Quotientenring_induziert_Isomorphie

Thm: Erster Isomorphiesatz über Ringe

Thm: Zweiter Isomorphiesatz über Ringe

Thm: Dritter Isomorphiesatz über Ringe

Thm: Chineischer Restsatz

Korollar: Folgerung aus Chineischem Restsatz

Def: Primring

Prop: Charakteristik eines Rings

Def: Primideal

Prop: Charakterisierung Primideal

Def: maximales Ideal

Prop: Charkaterisierung maximales Ideal

Prop: Urbild von Primideal

Def: Quotientenkörper

Prop: Quotientenkörper ist Körper

Def: Primkörper

Def: Polynomring

Lemma: natürliche Einbettung in Polynomring

Def: adjungierter Unterring

Prop: Charakterisierung adjungierter Unterring

Thm: Universelle Eigenschaft von Polynomringen

Korollar: Folgerung aus universellen Eigenschaft für Polynomringen

Def: transzendent/algebraisch

Def: Grad Polynom

Prop: Polynomringeigenschaften eines Integritätsring

Thm: Euklidischer Algorithmus auf Polynomen

Def: Teilbarkeit in Ringen

Korollar: Abspalten von Nullstellen

Thm: Körper, Polynomring ist Hauptidealring

Def: euklidischer Ring

Prop: Automorphismengruppen von (Z/mZ)^n

Aufg: Ordnung g^k

Aufg: C_m x C_n

Aufg: G zyklische Gruppe

Aufg: Primzahl, genau eine nichttriviale UG

Aufg: Bed. Vereinigung ist UG

Aufg: Untergruppen von (Z,+)

Aufg: Kondition Teilmenge UG

Aufg: ggT via Index

Aufg: Aut(Z/nZ)

Aufg: Satz von Cauchy

Aufg: Gruppe Ordnung 2p

Aufg: Isomorphie zwischen äusseren semidirekten Produkten

Aufg: eulersche phi-Funktion

Aufg: Einheitengruppe eines endlichen Körpers

Aufg: Bild/Urbild Ideal

Aufg: über primideale und maixmale ideal (endl)

Aufg: erweiterung zu maixmalen Ideal

Gruppen Ordnung 4

Gruppen Ordnung 6

Gruppen Ordnung 8

Gruppen Ordnung 9

Gruppen Ordnung 10

Gruppen Ordnung 12

Gruppen Ordnung 14

Gruppen Ordnung 18

Gruppen Ordnung 20

Gruppen Ordnung 21