Algebra I Übung W13

Theorem 1:
Sei $R$ ein Integritätsring. Dann ist $R[X]$ genau dann ein Hauptidealring, wenn $R$ ein Körper ist.

Beweis:
$⟸$:
Diese Richtung folgt mittels dem Euklidischen Algorithmus auf Polynomen. Ihr habt dies in der Vorlesung gesehen.

$⟹$:
Sei also $R[X]$ ein Hauptidealring. Wir bemerken, dass da $R$ nach Annahme ein Integritätsring ist, müssen wir nur prüfen, dass jedes Element in $R\setminus \left\{0\right\}$ ein multiplikatives Inverse besitzt. Sei also $r\in R\setminus \left\{0\right\}$. Wir betrachten dazu das Ideal $(r,X)\subseteq R[X]$. Da $R[X]$ ein Hauptidealring ist, existiert ein $f\in R[X]$ mit $(f)=(r,X)$. Da $R[X]$ kommutativ ist, wissen wir, dass $(f)=f\cdot R[X]$. Also existieren $g,h\in R[X]$, so dass

$$r=fg\text{ und }X=fh.$$

gelten. Da $R$ ein Integritätsring ist gilt $\mathrm{grad}(r)=\mathrm{grad}(f)+\mathrm{grad}(g)$ und $\mathrm{grad}(X)=\mathrm{grad}(f)+\mathrm{grad}(h)$. Aus der ersten Gleichung folgt $\mathrm{grad}(f)=0$ und so aus der zweiten $\mathrm{grad}(h)=1$. Wir können also $f=a$, $h=b+Xc$ für $a,b,c\in R$ schreien, wobei $a,c\ne 0$. Setzen wir dies in obige Gleichung ein erhalten wir

$$X=a\cdot (b+Xc)=ab+Xac.$$

Nun folgt $ac=1$ und somit $a=f\in R^{\times }$. Also gilt $1=fc\in (f)=(r,X)$. Da jedes Element in $(r,X)$ die Form $sr+dX$ für $s,d\in R[X]$ hat, existieren $s,d\in R[X]$, mit

$$sr+dX=1.$$

Durch Betrachtung der Grade erhalten wir $d=0$ und somit $r\in R^{\times }$. Da $r\in R\setminus \left\{0\right\}$ beliebig war, folgt dass $R$ ein Körper ist.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Bemerkung:
Wieso interessieren uns Polynomringe eigentlich? Eine allgemeine Frage in der Algebra ist die Folgende. Gegeben eine algebraische Struktur $A$ (z.B. eine Gruppe oder einen Ring), kann ich diese Struktur irgendwie erweitern, dass heisst, kann ich eine Struktur $B$ definieren, so dass $A$ eine echte Unterstruktur von $B$ ist.

In der Gruppen- und in der Ringtheorie wurde diese Frage relativ leicht mit der Konstruktion via dem komponentenweise definierten direkten Produkt/Summe beantwortet.

In der Körpertheorie funktioniert diese Konstruktion jedoch nicht, da durch die komponentenweise definierte Multiplikation immer Nullteiler entstehen. Polynomringe bieten eine alternative Konstruktion.

Definition:
Sei $R$ ein Ring. Wir nennen eine Element $r\in R$ irreduzibel, falls $r\ne 0$, $r\notin R^{\times }$ und für $a,b\in R$ die Gleichung $r=ab$ impliziert, dass $a\in R^{\times }$ oder $b\in R^{\times }$.

Faktum:
Sei $R$ ein Integritätsring und $f\in R[X]$ ein irreduzibles Polynom von Grad $\ge 1$. Dann besitzt $f$ keine Nullstellen in $R$.

Beweis:
Angenommen $f$ besitzt eine Nullstelle $a\in R$. Dann folgt mit dem Euklidischen Algorithmus (oder Korollar 12.7), dass $f=(X-a)g$ für ein $g\in R[X]$. Da $X-a$ keine Einheit in $R[X]$ ist ($(R[X]{)}^{\ast }=R^{\ast }$) folgt, dass $f$ nicht irreduzibel ist.

Theorem 2:
Sei $K$ ein Körper und $f\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom mit Grad $\ge 1$. Dann existiert ein Körper $L$, welcher einen zu $K$ isomorphen Unterkörper enthält. Des weiteren besitzt das zu $f$ entsprechende Polynom in $L[X]$ eine Nullstelle in $L$.

Beweis:
Wir wollen zeigen, dass $(f)$ ein maximales Ideal definiert, womit $K[X]/(f)$ einen Körpert definieren würde. Angenommen es existiert ein Ideal $I\subseteq K[X]$, mit $(f)\subseteq I⊊K[X]$. Aus Theorem 1 folgt, dass ein $g\in K[X]$ existiert mit $I=(g)$. Da $f\in (g)$, existiert ein Polynom $h\in K[X]$, so dass $f=gh$. Da $I$ nicht ganz $K[X]$ ist, ist $g$ keine Einheit in $K[X]$. Da $f$ irreduzibel ist, folgt $h\in (K[X]{)}^{\ast }=K\setminus \left\{0\right\}$. Dann gilt aber $g=f{h}^{-1}$ und somit $(f)=(g)=I$. Dies zeigt, dass $(f)$ maximal ist. Wir definieren nun den Körper $L:=K[X]/(f)$ und betrachten die natürliche Projektion

$$\pi :K[X]\to K[X]/(f)=L.$$

Wir behaupten, dass $\pi {|}_K:K\to \pi (K)$ einen Isomorphismus bildet. Da $\pi$ einen einen Ringhomomorphismus definiert müssen wir lediglich Injektivität prüfen. Angenommen es existiert ein $a\in \ker \pi {|}_F\setminus \left\{0\right\}$. Dann folgt

$$\pi {|}_F(1)=\pi {|}_F(a{a}^{-1})=\pi {|}_F(a)\pi {|}_F(a^{-1})=0,$$

ein Widerspruch zu $\pi (1)=1$. Also ist $\pi {|}_K$ injektiv und somit besitzt $L$ einen zu $K$ isomorphen Unterkörper. Wir schreiben $f(X)={\sum }_{i=0}^n{a}_0{X}^i$ und setzen $\tilde{f}(X)={\sum }_{i=0}^n\pi (a_0)X^i\in L[X]$. $\tilde{f}$ is also Polynom in $L[X]$, welches $f\in K[X]$ entspricht, wenn wir $K$ mit dem Unterring in $L$ identifizieren. Wir behaupte, dass $\alpha =\pi (X)\in L$ eine Nullstelle von $\tilde{f}$ definiert. In der Tat gilt

$$\begin{array}{rl}\tilde{f}(\alpha )& =\tilde{f}(X+(f))\\ & =\sum _{i=0}^n(a_i+(f))(X+(f){)}^i\\ & =\sum _{i=0}^n(a_i{X}^i+(f))\\ & =\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i+(f)\\ & =f+(f)\\ & =0.\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$