Algebra I Übung W12

Definition:
Sei $R$ ein Ring. Wir nennen ein Element $x\in R$ nilpotent, falls ein ganze Zahle $n\ge 1$ existiert, so dass $x^n=0$.

Proposition:
Sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ die Teilmenge aller nilpotenten Elemente. Dann bildet $I$ ein Ideal und der Quotientenring $R/I$ besitzt keine von 0 verschiedene nilpotenten Elemente.

Beweis:
Wir bemerken zuerst dass $0^1=0$, womit $0\in I$ und $I$ insbesondere nicht leer ist. Seien $a,b\in I$ und $n,m\ge 1$. Da $R$ kommutativ ist, gilt der binomische Lehrsatz und es folgt

$$\begin{array}{rl}(a-b{)}^{n+m}& =\sum _{k=0}^{n+m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k}\right)a^k{b}^{n+m-k}(-1{)}^{n+m-k}.\end{array}$$

Nun bemerken wir, dass für $0\le k\le n$ gilt $b^{n+m-k}=0$ und für $n\le k\le n+m$ gilt $a^k=0$. Es folgt $(a-b{)}^{n+m}=0$, womit $a-b\in I$. Dies zeigt, dass $I$ eine additive Untergruppe bildet. Sei $x\in R$, dann gilt $(xa{)}^n=x^n{a}^n=0$, wobei wir die Kommutativität von $R$ verwendet haben. Also ist $xa\in I$. Dies zeigt, dass $I$ ein ideal ist.

Sei nun $x+I\in R/I$ ein nilpotentes Element. Dann existiert ein $n\ge 1$, sodass $(x+I{)}^n=x^n+I=0+I$. Es folgt $x^n\in I$. Dies impliziert jedoch, dass ein $m\ge 1$ existiert, sodass $(x^n{)}^m=0$ in $R$. Es folgt, dass $x$ selbst schon nilpotent war, also $x+I=I$, womit $R/I$ ausser 0 keine nilpotenten Elemente besitzt.

Aufgabe:
Wir wollen den (kommutativen) Ring $R$ der stetigen Funktionen $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ besser verstehen. Die Operationen des Ringes sind durch komponentenweiser Addition und Multiplikation gegeben.
(a) Hat $R$ Nullteiler?
(b) Zeige, dass $R$ überabzählbar viele Maximale Ideale enthält.
(c) Bestimme alle maximalen Ideale von $R$.

Lösung:
(a)
Ja! Betrachte

$$\begin{array}{r}f(x):=\{\begin{array}{ll}1-2x& x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]\\ 0& x\in \left[\frac{1}{2},1\right]\end{array}\end{array}$$

und

$$g(x):=\{\begin{array}{ll}0& x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]\\ 2\left(x-\frac{1}{2}\right)& x\in \left[\frac{1}{2},1\right].\end{array}$$

Dann sind $f,g\in R\setminus \left\{0\right\}$ und $fg=0$.

(b)
Wir behaupten, dass für jede $a\in [0,1]$ die Teilmenge $I_a:=\left\{f\in R\mid f(a)=0\right\}$ ein maximales Ideal definiert. Betrachte dazu die Abbildung

$$\begin{array}{rl}{\phi }_a:R& \to \mathbb{R}\\ f& \mapsto f(a).\end{array}$$

Es ist nicht schwer zu prüfen, dass ${\phi }_a$ einen Ringhomomorphismus definiert. Weiter gilt per Konstruktion $\ker {\phi }_a=I_a$. Dies zeigt, dass $I_a$ ein Ideal definiert. Durch Betrachtung der konstanten Funktionen, sehen wir, dass ${\phi }_a$ surjektiv ist. Mit dem ersten Isomorphie satz folgt nun $R/I_a\cong \mathbb{R}$. Da $\mathbb{R}$ einen Körper bildet, folgt mit der Charakterisierung der maximalen Ideale, dass $I_a$ maximal ist.

Schlussendlich bemerken wir, dass für $a\ne b\in [0,1]$ jede nicht horizontale gerade durch $a$ eine stetige Funktion $f$ mit $f(b)\ne 0$ definiert. Dies zeigt $I_a\ne I_b$, womit die Existienz von überabzählbar vielen maximalen Ideale folgt.

(c)
Angenommen es existiert ein maximales ideal $I$ verschieden von $I_a$ für alle $a\in [0,1]$. Sei $a\in [0,1]$. Aufgrund der Maximalität folgt $I⊈I_a$. Also existiert eine stetige Funktion $f_a\in I$ mit $f_a(a)\ne 0$. Aufgrund der Stetigkeit von $f$ existiert eine offenen Umgebung $U_a$ von $a$, mit $f_a(x)\ne 0$ für alle $a\in U_a$. Wir bemerken, dass $(U_a{)}_{a\in [0,1]}$ eine offene Überdeckung von $[0,1]$ bilden. Aufgrund der Kompaktheit von $[0,1]$ existiert eine endliche Teilmenge $S\subseteq [0,1]$, so dass ${\bigcup }_{a\in S}{U}_a=[0,1]$. Definiere nun $f:={\sum }_{a\in S}{f}_a^2$. Dieser Funktion ist per Konstruktion stetig und ein Element von $I$. Ausserdem gilt $f(x)>0$ für alle $x\in [0,1]$. Also ist $g(x):=\frac{1}{f(x)}$ wohldefiniert und stetig, also ein Element in $R$. Nun folgt $fg=1_R\in I$, ein Widerspruch zur Maximalität von $I$.

Aufgabe:
Betrachte den Polynomring $R=K[X]$ für einen beliebigen Körper $K$. Zeige, dass das Ideal $(X-a)$ maximal ist für alle $a\in K$.

Lösungsskizze:
Für $a\in K$ definiere

$$\begin{array}{rl}{\phi }_a:R& \to K\\ f(X)& \mapsto f(a).\end{array}$$

Zeige, dass ${\phi }_a$ ein surjektiver Ringhomomorphismus ist. Zeige, dass $\ker {\phi }_a=(X-a)$. Nun folgt mit dem ersten Isomorphiesatz $R/(X-a)\cong K$, womit $(X-a)$ maximal ist.