Algebra I Übung W10

Definition:
Sei $R$ ein Ring, dann nennen wir eine additive Untergruppe $\mathfrak{a}\le R$ für die $Rx,xR\subseteq \mathfrak{a}$ für alle $x\in \mathfrak{a}$ gilt ein Ideal.

Bemerkung:
Was ist ein Ideal, wieso ist diese Definition Interessant? $⇝$ Isomorphiesätze.

Definition:
Sei $R$ ein kommutativer Ring und $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subseteq R$ zwei Ideal. Dann nennen wir $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ teilerfremd, falls

$$\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=R.$$

Bemerkung
Zwei ganze Zahlen $n,m\in \mathbb{Z}$ sind genau dann teilerfremd, wenn $n\mathbb{Z}$ und $m\mathbb{Z}$ als Ideale teilerfremd sind.

Lemma 2:
Sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subseteq R$ zwei teilerfremde Ideale. Dann gilt

$$\mathfrak{ab}=\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}.$$

Beweis:
Die Inklusion $\mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ gilt sogar allgemeiner und ihr habt den Beweis dazu in der Vorlesung gesehen. Für die andere Inklusion sei $c\in \mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ beliebig. Da $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ teilerfremd sind, existieren $a\in \mathfrak{a}$ und $b\in \mathfrak{b}$, so dass $a+b=1$. Es folgt $c=ca+cb$. Nun folgt aus $c\in \mathfrak{b}$ und $a\in \mathfrak{a}$, dass $ca\in \mathfrak{ab}$. Analog folgt aus $c\in \mathfrak{a}$ und $b\in \mathfrak{b}$, dass $cb\in \mathfrak{ab}$. Insgesamt erhalten wir also $c=ca+cb\in \mathfrak{ab}$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Beispiel:
Für $n,m\in \mathbb{Z}$ teilerfremd gilt also $m\mathbb{Z}n\mathbb{Z}=n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=\mathrm{kgV}(n,m)\mathbb{Z}$.

Proposition 3:
Seien $n,m\in \mathbb{Z}$ teilerfremd. Dann gilt $\mathbb{Z}/nm\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ als Ringe.

Beweis:
Definiere

$$\begin{array}{rl}\phi :\mathbb{Z}& \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\\ k& \mapsto (k+n\mathbb{Z},k+m\mathbb{Z}).\end{array}$$

Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass $\phi$ einen Ringhomomorphismus definiert. Da $n,m$ teilerfremd sind existieren $x,y\in \mathbb{Z}$, so dass $xn+ym=1$. Damit erhalten wir

$$\begin{array}{rl}\phi (1-xn)& =(1+n\mathbb{Z},0+m\mathbb{Z})\\ \phi (1-ym)& =(0+n\mathbb{Z},1+m\mathbb{Z}).\end{array}$$

Da obige zwei Elemente ganz $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ durch Ringoperationen erzeugen (Addition würde genügen), folgt dass $\phi$ surjektiv ist. Wir wollen nun $\ker \phi$ bestimmen. Sei $k\in \mathbb{Z}$, dann

$$\begin{array}{rl}k\in \ker \phi & ⟺\phi (k)=(0+n\mathbb{Z},0+m\mathbb{Z})\\ & ⟺(k+n\mathbb{Z},k+m\mathbb{Z})=(0+n\mathbb{Z},0+m\mathbb{Z})\\ & ⟺k\in n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}\\ \text{Lemma 2}& ⟺k\in n\mathbb{Z}m\mathbb{Z}\\ & ⟺k\in nm\mathbb{Z}.\end{array}$$

Dies zeigt $\ker \phi =nm\mathbb{Z}$. Mit dem ersten Isomorphiesatz über Ringe folgt nun

$$\mathbb{Z}/nm\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.$$ $$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Bemerkung:
Proposition 3 ist ein Spezielfall des Chinesischen Restsatzes. Allgemeiner gilt für $n_1,\dots ,n_k$ paarweise teilerfemd folgende Ringisomorphie

$$\mathbb{Z}/(n_1\cdot \dots \cdot n_k)\mathbb{Z}\cong \underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}\mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}.$$

Oder sogar noch allgemeiner: Seien $I_1,\dots ,I_k$ paarweise teilerfremde Ideale eines kommutativen Ringes $R$. Sei $I={\bigcap }_{i=1}^k{I}_i=I_1\cdot \dots \cdot I_k$. Dann definiert

$$\begin{array}{rl}R/I& \to R/I_1\oplus \dots .\oplus R/I_k\\ x+I& \mapsto (x+I_1,\dots ,x+I_k)\end{array}$$

einen Ringisomorphismus.

Lemma 4:
Seien $R_1,\dots ,R_n$ Ringe. Dann gilt

$${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{R}_i\right)}^{\ast }=\prod _{i=1}^n{R}_i^{\ast },$$

wobei die Gleichheit als Mengengleichheit gelesen werden soll.

Beweis:
Sei $(x_1,\dots ,x_n)\in {⨁}_{i=1}^n{R}_i$ beliebig. Es gilt $(x_1,\dots ,x_n)\in {\left({⨁}_{i=1}^n{R}_i\right)}^{\ast }$ genau dann, wenn ein $(y_1,\dots ,y_n)\in {⨁}_{i=1}^n{R}_i$ existiert mit

$$(y_1,\dots ,y_n)(x_1,\dots ,x_n)=(1,\dots ,1)=(x_1,\dots ,x_n)(y_1,\dots ,y_n).$$

Dies ist aber genau dann der Fall, falls $y_i{x}_i=1=x_i{y}_i$ für alle $i=1,\dots ,n$. Letzteres ist wiederrum äquivalent zu $x_i\in R_i^{\ast }$ für alle $i$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Definition:
Sei $R$ ein Ring und $A\subseteq R$ eine Teilmenge. Dann definieren wir das von $A$ erzeugte Ideal als

$$(A):=\bigcap _{\begin{array}{c}\mathfrak{a}\text{ Ideal in }R\\ A\subseteq \mathfrak{a}\end{array}}\mathfrak{a}.$$

Proposition 1:
Sei $R$ ein Ring und $A\subseteq R$ eine Teilmenge und $b\in R$ ein Element. Dann gilt
(1)

$$(b)=\left\{\sum _{i\in I}{r}_{i}b{s}_i\mid r_i,s_i\in R,I\text{ endlich}\right\}.$$

(2)

$$\begin{array}{rl}(A)& =\left\{\sum _{i\in I}{r}_i{a}_i{s}_i\mid r_i,s_i\in R,a_i\in A,I\text{ endlich}\right\}\\ & =\bigcup _{\begin{array}{c}I\text{ endlich}\\ \forall i\in I:a_i\in A\end{array}}\sum _{i\in I}(a_i)\end{array}$$

Falls $R$ kommutativ ist, so erhalten wir folgende Vereinfachungen.
(1’)

$$(b)=bR=\left\{rb\mid r\in R\right\}$$

(2’)

$$(A)=\left\{\sum _{i\in I}{a}_{i}R\mid a_i\in A,I\text{ endlich}\right\}.$$

Beweis:
(1)
Sei $X$ die Menge auf der rechten Seite. Wir setzen $r_1=s_1=1$ und $I=\left\{1\right\}$ und sehen somit, dass $b\in X$. Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass $X$ ein Ideal bildet. Sei nun $\mathfrak{a}$ ein beliebiges Ideal, welches $b$ enthält. Sei $I$ endlich und $r_i,s_i\in R$ für alle $i\in I$. Da $\mathfrak{a}$ abgeschlossen bezüglich Rechts- und Linksmultiplikation ist folgt $r_{i}b{s}_i\in \mathfrak{a}$. Da $\mathfrak{a}$ eine additive Untergruppe bildet folgt ${\sum }_{i\in I}{r}_{i}b{s}_i\in \mathfrak{a}$. Dies zeigt $X\subseteq \mathfrak{a}$. Dies zeigt, dass $X$ das kleinste Ideal ist, welches $b$ enthält und somit $(b)=X$.

(2), (1’) und (2’) folgen durch sehr ähnliche Argumente.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$