Algebra I Übung W07

Theorem 1: (Haupsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen)
Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann existieren $n_1,\dots ,n_t,r\in \mathbb{N}$ mit $n_1|n_2|\dots |n_t$, so dass

$$G\cong C_{n_1}\times \cdots \times C_{n_t}\times {\mathbb{Z}}^r.$$

Wir nennen $C_{n_1}\times \cdots \times C_{n_t}$ (bzw. die entsprechende Untergruppe in $G$) die Torsionsgruppe von $G$ und $r$ den Rang von $G$.

Bemerkung: Falls $G$ nicht trivial ist, so können wir ohne Einschränkung $n_1\ge 2$ fordern.

Bemerkung: Die Torsionsgruppe kann durchaus trivial sein. Genauso kann der Rang der Gruppe Null sein.

Variante Theorem 1:
Sei $G$ eine endlich erzeugt abelsche Gruppe. Dann existieren Primzahlen $p_1,\dots ,p_n$ (nicht notwendigerweise verschieden!) und $r,e_1,\dots ,e_n\in \mathbb{N}$, so dass

$$G\cong C_{p_1^{e_1}}\times \cdots \times C_{p_n^{e_n}}\times {\mathbb{Z}}^r$$

Beispiel:
Wie kommen wir von ${\prod }_{i=1}^s{C}_{m_i}$ mit $m_i\in \mathbb{N}$ für alle $i$, zu $n_1,\dots ,n_t\in \mathbb{N}$, so dass

$$\prod _{i=1}^s{C}_{m_i}\cong \prod _{i=1}^t{C}_{n_i}$$

mit $n_1|n_2|\dots |n_t$? Wir können dies mit hilfe des Algorithmus tun, der im Beweis von Korolar 5.5 angegeben ist. Wir betrachen ein Beispiel. Wir nehmen $C_{28}\times C_{12}\times C_{15}\times C_{45}\times C_{26}$. Um die Anwendung zu erleichtern zerlegen wir die Ordnungen der Komponenten in ihre Primfaktoren, also $28=2^2\cdot 7$, $12=2^2\cdot 3$, $15=3\cdot 5$, $45=3^2\cdot 5$, $26=2\cdot 13$. Wir bauen nun eine Tabelle mit einer Zeile für jede vorkommende Primzahl und notieren in absteigender Reihenfolge, in welchen Potenzen diese vorkommt.

$$\begin{array}{cccccc}\text{Primzahl}& & & & & \\ 2& 2^2& 2^2& 2& 1& 1\\ 3& 3^2& 3& 3& 1& 1\\ 5& 5& 5& 1& 1& 1\\ 7& 7& 1& 1& 1& 1\\ 13& 13& 1& 1& 1& 1\\ \text{Produkt der Spalten}& 16380& 60& 6& 1& 1\end{array}$$

Wir erhalten somit

$$C_{28}\times C_{12}\times C_{15}\times C_{45}\times C_{26}\cong C_{16380}\times C_{60}\times C_6$$

mit $6|60|16380$.

Weiteres Beispiel?

Aufgabe 1:
Finde (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen der Ordnung 16.

Lösung:
Mit dem Hauptsatz über endlich erzeugt abelsche Gruppen ist jede solche Gruppe isomorph zu

$$C_{n_1}\times \cdots \times C_{n_t}$$

für $n_1,\dots ,n_t\in \mathbb{N}$. Da die Ordnung der Gruppe $16=2^4$ folgt, dass $n_i=2^{e_i}$ für alle $i$. Des weiteren sollte $n_1\cdot \dots \cdot n_t=16$ gelten, also $2^{e_1}\cdot \dots \cdot 2^{e_t}=2^4$. Dies ist wiederrum äquivalent zu $e_1+\cdots +e_t=4$. Wir haben das Problem also auf die Bestimmung aller “Partitionen von 4” reduziert, das heisst alle Möglichkeiten 4 als Summe positiver ganzer Zahlen zu schreiben, ohne berücksichtigung der Reihenfolge. Wir finden genau fünf verschiedene Möglichkeiten:

$$4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1.$$

Es folgt, dass

$$\begin{array}{c}{C}_{16}\\ C_8\times C_2\\ C_4\times C_4\\ C_4\times C_2\times C_2\\ C_2\times C_2\times C_2\times C_2\end{array}$$

bis auf Isomorphie alle abelschen Gruppen der Ordnung 16 sind.

Aufgabe 2:
Sei $m\ge 1$ eine quadratfreie ganze Zahl, das heisst für alle ganze Zahlen $n\ge 2$ gilt $n^2\nmid m$. Dann ist jede abelsche Gruppe der Ordnung $m$ zyklisch.

Lösung:
Falls $m=1$, so folgt die Aussage direkt. Falls $m>1$, so wenden wir den Haupsatz an und schreiben

$$G\cong C_{n_1}\times \cdots \times C_{n_t},$$

mit $n_1|n_2|\dots |n_t$. Da $G$ in diesem Fall nicht trivial ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit $n_1\ge 2$ annehmen. Nehmen wir nun an, dass $t\ge 2$, so folgt da $n_1|n_2$, dass $n_1^2|m$. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme an $m$. Es folgt $t=1$ und somit $G$ zyklisch.

Aufgabe 3:
Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe von Rang $r\in \mathbb{N}$. Definiere

$$T:=\left\{a\in G\mid \mathrm{ord}(a)<\infty \right\}.$$

Zeige, dass $T$ der Torsionsgruppe von $G$ entspricht (insbesondere definiert $T$ also eine Gruppe). Zeige des weiter, dass

$$G/T\cong {\mathbb{Z}}^r.$$

Lösung:
Wir wenden den Haupstaz an und erhalten

$$G\cong (\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/n_t\mathbb{Z})\times {\mathbb{Z}}^r,$$

mit $n_1|\dots .|n_t$, $t\ge 0$. Wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass wir Gleichheit anstatt Isomorphie haben. Das Neutralelement $(0,\dots ,0)\in G$ hat Ordnung 1, also ist $T$ sicherlich nicht leer. Seien $x,y\in T$. Dann hat $x^{-1}y$ Ordnung $\mathrm{kgV}(\mathrm{ord}(x),\mathrm{ord}(y))<\infty$, wobei wir verwendet haben, dass $G$ abelsch ist. Es folgt $x^{-1}y\in T$ und somit ist $T$ eine Untergruppe. Die Torsionsgruppe von $G$ ist per Definition gegeben durch

$$(\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/n_t\mathbb{Z})\times {\left\{0\right\}}^r\le G.$$

Wir sehen, dass jedes Element der Torsionsgruppe Ordnung endliche Ordnung hat. Für die andere Inklusion sei $x=(x_1,\dots ,x_t,{\tilde{x}}_1,\dots ,{\tilde{x}}_r)\in T\subseteq G$. Da die Ordnung von $x$ endlich ist, existiert ein positive ganze Zahl $k\ge 1$, so dass $k\cdot x=0\in G$. Es folgt $k{x}_i\equiv 0\mathrm{mod}{n}_i$ für alle $i=1,\dots ,t$ und $k{\tilde{x}}_j=0$ für alle $j=1,\dots ,r$. Wir erhalten also ${\tilde{x}}_j=0$ für alle $j=1,\dots ,r$ und somit ist $x$ ein Element der Torsionsgruppe. Somit gilt

$$T=(\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/n_t\mathbb{Z})\times {\left\{0\right\}}^r.$$

Für den zweiten Teil definieren wir

$$\begin{array}{rl}\phi :G& \to G\\ x& \mapsto n_t\cdot x.\end{array}$$

Da $G$ abelsch ist, definiert dies einen Gruppenhomomorphismus. Per Konstruktion hat jedes Element im Kern von $\phi$ endliche Ordnung, also $\ker \phi \subseteq T$. Umgekehrt gilt wegen $n_1|\dots |n_t$, dass $n_t\cdot x=0$ für alle $x\in T$. Es folgt also $\ker \phi =T$. Mit dem ersten Isomorphiesatz folgt nun

$$G/T\cong \phi (G).$$

Es bleibt also zu zeigen, dass $\phi (G)\cong {\mathbb{Z}}^r$. Wir rechnen

$$\begin{array}{rl}\phi (G)& =\left\{\phi (x)\mid x\in G\right\}\\ & =\left\{\phi ((x_1,\dots ,x_t,{\tilde{x}}_1,\dots ,\widetilde{x_j}))\mid x_i\in \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}\text{ und }{\tilde{x}}_j\in \mathbb{Z}\text{ fu¨r alle }i,j\right\}\\ & =\left\{n_t\cdot (x_1,\dots ,x_t,{\tilde{x}}_1,\dots ,\widetilde{x_j})\mid x_i\in \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}\text{ und }{\tilde{x}}_j\in \mathbb{Z}\text{ fu¨r alle }i,j\right\}\\ & =\left\{(0,\dots ,0,n_t{\tilde{x}}_1,\dots ,n_t{\tilde{x}}_r)\mid {\tilde{x}}_j\in \mathbb{Z}\text{ fu¨r alle }j\right\}\\ & =(n_t\mathbb{Z}{)}^r.\end{array}$$

Wir wissen, dass $m\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}$ für jedes $m\in \mathbb{Z}$. Es folgt also $\phi (G)\cong {\mathbb{Z}}^r$.

Aufgabe 4:
Zeige, dass eine endliche abelsche Gruppe $G$ genau dann nicht zyklisch ist, wenn eine zu $C_p\times C_p$ isomorphe Untergruppe von $G$ für eine Primzahl $p$ existiert.

Lösung:
$⟹$:
Wir wenden den Haupsatz an und schreiben

$$G\cong C_{n_1}\times \cdots \times C_{n_t},$$

mit $n_1|n_2|\dots |n_t$. Da $G$ nicht zyklisch ist $G$ nicht-trivial, also $n_1\ge 2$. Des weiteren hat obige Dekomposition aus dem selben Grund mindestens zwei Faktoren, also $t\ge 2$. Sei $p$ eine Primfaktor von $n_1$. Dann ist dieser auch ein Faktor von $n_2$, weil $n_1|n_2$. Seien $g_1$ und $g_2$ Erzeuger von $C_{n_1}$ resp. $C_{n_2}$. Dann ist $⟨g_1^{n_1/p}⟩\times ⟨g_2^{n_2/p}⟩$ eine zu $C_p\times C_p$ isomorphe Untergruppe von $C_{n_1}\times \cdots \times C_{nt}$. Mit obiger Isomorphie existiert somit eine zu $C_p\times C_p$ isomorphe Untergruppe von $G$.

$⟸$:
Wir wissen, dass falls $G$ zyklisch wäre, so wäre jede Untergruppe von $G$ auch zyklisch. Da aber $C_p\times C_p$ nicht zyklisch ist folgt, dass $G$ nicht zyklisch sein kann.