Algebra I Übung W06

Bemerkung:
Siehe Cayley Graphs Plotter | JuliaPoo für visualisierung von Cayley Graphen.

Theorem: (Ester Isomorphiesatz)
Sei $\psi :G\to H$ ein surjektiver Homomorphismus. Sei $N=\ker (\psi )$ und sei $\pi :G\to G/N$ der natürliche Homomorphismus von $G$ auf $G/N$. Dann existiert genau ein Isomorphismus $\phi :G/N\stackrel{\sim }{\to }H$ mit $\psi =\phi \circ \pi$. Mit anderen Worten, folgendes Diagramm kommutiert.

Proposition 1:
Sei $G$ eine endliche Gruppe, $H$ eine Untergruppe von $G$ und $N$ eine normale Untergruppe von $G$. Wir nehmen des weiteren an, dass die Ordnung von $H$ und der index von $N$ in $G$ teilerfremd sind. Dann gilt $H\subseteq N$.
Lösung:
Sei also $H\le G$, $N⊴G$, sodass $\mathrm{ggT}([G:N],|H|)=1$. Falls $|H|=1$, dann folgt direkt $H\subseteq N$. Andernfalls gilt $|H|>1$. Sei $\pi :H\to G/N$ die natürliche Projektion. Dann gilt $\pi (H)\le G/N$. Nach Lagrange teilt $|\pi (H)|$ den Index $[G:N]$. Mit dem ersten Isomorphiesatz folgt

$$H/\ker \phi \cong \pi (H).$$

Also teilt $[H:\ker \phi ]=|H|/|\ker \phi |$ den Idex $[G:N]$. Da aber $[G:N]$ und $|H|$ teilerfremd sind folgt $[H:\ker \phi ]=1$, also $\ker \phi =H$. Es folgt $H\subseteq H$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Bemerkung:
Wir haben in der Vorlesung gesehen, dass falls $H\le G$ mit $[G:H]=2$, dann folgt $H⊴G$. Wir wollen nun eine Verallgemeinerung beweisen.

Proposition 2:
Sei $G$ eine endliche Gruppe. Sei $p$ der kleinste Primfaktor von $|G|$ und $H\le G$ mit $[G:H]=p$. Dann gilt $H⊴G$.

Beweis:
Wir betrachten die Gruppenoperation $G\curvearrowright G/H$ definiert durch linkstranslation der Nebenklassen. Also $(g,xH)\mapsto gxH$. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

$$\begin{array}{rl}\phi :G& \to S(G/H)\\ g& \mapsto ({\pi }_g:xH\mapsto gxH)\end{array}$$

Wir wollen $\ker \phi =H$ zeigen. Mit einer Theorem 4.3 aus der Vorlesung folgt dann $H⊴G$. Wir bemerken zuerst, dass $|S(G/H)|=p!$ gilt, da $|G/H|=[G:H]=p$. Die Ordnung der Untergruppe $\phi (G)\le S(G/H)$ ist mit Lagrange also ein Teiler von $p!$. Mit dem ersten Isomorphiesatz erhalten wir $G/\ker \phi \cong \phi (G)$. Somit ist also $|G/\ker \phi |$ ein Teiler von $p!$. Mit dem Satz von Lagrange folgt, dass $|G/\ker \phi |$ auch $|G|$ teilt. Da, per Annahme, $p$ der kleinste Primfaktor von $|G|$ ist gilt $\mathrm{ggT}(p!,|G|)=p$. Womit $|G/\ker \phi |$ entweder 1 oder $p$ ist. Sei nun $n\in \ker \phi$ beliebig, dann gilt ${\pi }_n={\mathrm{id}}_{G/H}$, da ${\mathrm{id}}_{G/H}$ das Neutralelement von $S(G/H)$ ist. Wenden wir nun ${\pi }_n$ auf die Nebenklasse $H\in G/H$ an, so erhalten wir $nH=H$, womit $n\in H$ folgt. Es gilt also $\ker \phi \subseteq H$. Mit dem Satz von Lagrange folgern wir nun

$$\begin{array}{rl}[G:\ker \phi ]& =\frac{|G|}{|\ker \phi |}\\ & =\frac{|G|}{|H|}\frac{|H|}{|\ker \phi |}\\ & =[G:H][H:\ker \phi ]\\ & =p[H:\ker \phi ]\end{array}$$

Es folgt $[G:\ker \phi ]=p$ und $[H:\ker \phi ]=1$. Ingesamt folgt also $H=\ker \phi ⊴G$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Aufgabe 1:
Sei $p$ eine Primzahl und $G$ eine endliche Gruppe der Ordnung $p^2$. Zeige indem du Proposition 2 verwendest, dass $G$ abelsch ist. (Hinweis: Untersuche die Operation durch konjugation von $G$ auf den Elementen $H\setminus \left\{e\right\}$).
Lösung:
Nach Lagrange hat jedes Element von $G$ Ordnung $1$, $p$ oder $p^2$. Falls ein Element der Ordnung $p^2$ existiert, so ist $G$ zyklisch und somit auch abelsch. Nehmen wir nun an es existiert kein Element der Ordnung $p^2$. So haben alle nicht-triviale Elemente Ordnung $p$. Sei $g\in G\setminus \left\{e\right\}$ beliebig. Dann ist $H:=⟨p⟩$ eine Untergruppe vom Index $p^2/p=p$. Nach obiger Proposition ist $H$ eine normale Untergruppe. So ist also folgende Operation wohldefiniert

$$\begin{array}{rl}G\times (H\setminus \left\{e\right\})& \to H\setminus \left\{e\right\}\\ (g,h)& \mapsto gh{g}^{-1}.\end{array}$$

Diese induziert einen Homomorphismus $\phi :G\to S_{p-1}$. Mit dem ersten Isomorphiesatz erhalten wir $G/\ker \phi \cong \phi (G)$, wobei $\phi (G)\le S_{p-1}$. So ist $|G/\ker \phi |$ ein Teiler von $(p-1)!$. Da aber $|G/\ker \phi |\in \left\{1,p,p^2\right\}$ folgt $|G/\ker \phi |=1$ und somit ist $\phi$ der triviale Homomorphismus. Also gilt $gh{g}^{-1}=h$ und somit $gh=hg$ für alle $g\in G$ und $h\in H$. Wir können nun auf zwei verschiedene Arten den Beweis schliessen.
(1) Es folgt $H⊴Z(G)$. Ausserdem bemerken wir, dass $G/H$ Ordnung $p$ hat und somit zyklisch ist. Mit Aufgabe 21 aus Serie 3 folgt nun, dass $G$ abelsch ist.
(2) Wir bemerken, dass insbesondere $p\in H$ mit allen Elementen in $G$ kommutiert. Da $p\in G\setminus \left\{e\right\}$ beliebig war, folgt dass $G$ abelsch ist.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Aufgabe 2:
Seien $n,m\ge 1$. Zeige, dass

$$\mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^m)\cong {\mathrm{GL}}_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$

gilt indem du einen expliziten Isomorphismus konstruierst. Folgere dann
(a) Für $n\ge 1$ gilt $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$
(b) Für $p$ prim gilt $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$

Lösungsskizze:
Definiere

$$\begin{array}{rl}\phi :{\mathrm{GL}}_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})& \to \mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^m)\\ A& \mapsto (v\mapsto Av).\end{array}$$

Man überprüft, dass $\phi$ ein wohldefinierter Isomorphismus ist. Für die Folgerungen bemerke, dass die Menge der invertierbaren $1\times 1$ Matrizen, genau den Elementen mit multiplikativem Inverse entspricht.

Aufgabe 3:
Welche Aussage folgt, wenn man den Isomorphiesatz auf die Abbildung

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to {\mathbb{C}}^{\times }\\ x& \mapsto e^{2\pi ix}\end{array}$$

anwendet?

Lösung:
Aus der Analysis wissen wir, dass $e^{2\pi i(x+y)}=e^{2\pi ix}{e}^{2\pi iy}$ gilt, womit $f$ einen Homomorphismus von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die multiplikative Gruppe ${\mathbb{C}}^{\times }$ definiert. Wir bemerken zuerst, dass $\mathrm{Im}f=S^1=\left\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\right\}$. Weiter gilt

$$\begin{array}{rl}\ker f& =\left\{x\in \mathbb{R}\mid e^{2\pi ix}=1\right\}=\mathbb{Z}.\end{array}$$

Es folgt

$$\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$$

Aufgabe 4:
Sei $G$ eine Gruppe und sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe von endlichem Index. Zeige, dass ein in $H$ enthaltener Normalteiler $N⊴G$ von endlichem Index existiert. (Hinweis: Finde einen Homomorphismus $G\to S_n$, dessen Kern in $H$ enthalten ist.)
Lösung:
Sei $n:=[G:H]\in \mathbb{N}$. Definiere $G\times G/H\to G/H,(a,bH)\mapsto a\circ bH=abH$. Dies definiert eine Operation von $G$ auf $G/H$. Diese induziert dies einen Homomorphismus $\phi :G\to S(G/H)\cong S_n$. Setze $N=\ker \phi ⊴G$. Mit dem ersten Isomorphiesatz folgt $G/N\cong \phi [G]\le S(G/H)\cong S_n$, also ist $[G:N]\in \mathbb{N}$ endlich. Sei abschliessend $a\in N$ beliebig, so folgt $\phi (a)=\iota$ also $\forall g\in G:agH=gH$, für $g=e$ folgt nun $aH=H$, also $a\in H$ und somit $N\subseteq H$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$