Algebra I Übung W05

Gruppenoperationen

Beispiel: Sei $G$ eine Gruppe der Ordnung 65 und $M$ eine Menge mit genau $16$ Elementen. Hat jede Gruppenoperation $G\curvearrowright M$ einen Fixpunkt?
Wir untersuchen die Frage genauer. Wir erinnern uns daran, dass für $x\in M$ gilt

$$x\text{ ist ein Fixpunkt}⟺|Gx|=1.$$

Sei $\mathcal{R}\subseteq M$ ein Repräsentantensystem der Bahnen, also gilt $G/M=\left\{Gr\mid r\in \mathcal{R}\right\}$ und $\forall r,s\in \mathcal{R}$ gilt $r\ne s⟹Gr\cap Gs=\varnothing$. Wir erinnern uns daran, dass die Bahnen eine Partition von $M$ bilden. Damit und mit einer Proposition aus letzter Woche folgt

$$\begin{array}{rl}|M|& =\sum _{r\in \mathcal{R}}|Gr|\\ & =\sum _{r\in \mathcal{R}}[G:{\mathrm{St}}_G(r)].\end{array}$$

Wir wissen $[G:{\mathrm{St}}_G(r)]||G|$ und somit $|Gr|=[G:{\mathrm{St}}_G(r)]\in \left\{1,5,13,65\right\}$ für alle $r\in \mathcal{R}$. Sei ${\mathcal{R}}_i:=\left\{r\in \mathcal{R}\mid |Gr|=i\right\}$ für $i\in \left\{1,5,13,65\right\}$. Wir bemerken, dass $|{\mathcal{R}}_1|$ genau der Anzahl an Fixpunkten entspricht. Dann gilt

$$16=|{\mathcal{R}}_1|\cdot 1+|{\mathcal{R}}_5|\cdot 5+|{\mathcal{R}}_{13}|\cdot 13+|{\mathcal{R}}_{65}|\cdot 65.$$

Wir sehen direkt, dass ${\mathcal{R}}_{65}=\varnothing$ gelten muss. Wir unterscheiden nun Fälle:

• Falls ${\mathcal{R}}_{13}\ne \varnothing$, dann muss $|{\mathcal{R}}_{13}|=1$ und $|{\mathcal{R}}_1|=3$.
• Andernfalls gilt ${\mathcal{R}}_{13}=\varnothing$
  • Falls ${\mathcal{R}}_5\ne \varnothing$, dann muss $|{\mathcal{R}}_5|\le 3$ und $|{\mathcal{R}}_1|\ge 1$
  • Falls ${\mathcal{R}}_5=\varnothing$, dann gilt $|{\mathcal{R}}_1|=16$.

Wir haben also in allen möglichen Fällen$|{\mathcal{R}}_1|\ge 1$, also einen Fixpunkt.

Tut Man dasselbe mit dem Beispiel $|G|=85$ und $|M|=20$ aus dem MC, so kann man den Fall mit $|{\mathcal{R}}_5|=4$ und $|{\mathcal{R}}_1|=0$ nicht ausschliessen. Dies motiviert dann die Suche eines Gegenbeispiels.

Propsition: (Burnside)
Sei $G\curvearrowright M$ eine Operation. Dann gilt

$$|M/G|=\frac{1}{|G|}\cdot \sum _{a\in G}{|}^{a}M|,$$

wobei für $a\in G$

$${}^{a}M:=\left\{x\in M\mid a\circ x=x\right\}.$$

Beispiel: (Abzählproblem)
Wir wollen untersuchen wie viele wesentlich verschiedene Färbungen der Ecken eines Quadrats es mit drei Farben gibt. Wir nennen zwei Färbungen wesentlich gleich, falls diese mittels durch Rotationen im ${\mathbb{R}}^3$ ineinander übergeführt werden können. Wir bemerken, dass dies genau der Gruppenoperation von $D_4$ auf den Ecken des Quadrats entspricht. Wobei wir $s\in D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=e,srs=r^{-1}⟩$ der Spiegelung durch zwei gegenüberliegenden Seitenmittelpunkten entspricht. Sie $M$ die Menge aller verschiedenen Färbungen der Ecken. Es existieren genau $4^3$, da wir für jede Ecke eine von drei verfügbaren Farben wählen können. Wir bemerken, dass dann zwei wesentlich gleiche Färbugen in der selben Bahn sind und umgekehrt sind alles Färbungen die sich eine Bahn teilen wesentlich gleich. Wir haben also das Problem auf die Bestimmung der Anzahl der Bahnen reduziert. Wir bemerken, dass Burnsides’s Lemma gerade eine Aussage über die Anzahl Bahnen $|M/D_4|$ macht. Es genügt also ${|}^{a}M|$ für alle $a\in D_4$ zu berechnen.

(1) Falls $a=e$, so ist jede bleibt Färbung erhalten, also ${|}^{e}M|=3^4$
(1) Falls $a=s$ oder $a=r^{2}s$, so werden alle Ecken durch paarweise Vertauschmkung bewegt. Damit das Quadrat danach gleich aussieht, müssen die Paare jeweils die gleiche Farbe haben. Wir haben also $3^2$ verschiedene Färbungen, welche erhalten bleiben und somit ${|}^{s}M|={|}^{r^{2}s}M|=3^2$
(2) Falls $a=rs$ oder $a=r^{3}s$ , so werden zwei Ecken nicht verschoben und die anderen zwei vertaucht. Wir haben also $3^3$ mögliche Färbungen, ${|}^{rs}M|={|}^{r^{3}s}M|=3^3$.
(3) Falls $a\in \left\{r,,r^3\right\}$, so müssen alle Ecken die gleiche Farbe haben, damit es nach der Operation gleich assieht. Es folgt ${|}^{r}M|={|}^{r^3}M|=3$.
(4) Falls $a=r^2$, so werden wie im Fall (2) zwei Paarae von Ecken vertauscht, also ${|}^{r^2}M|=3^2$.

Es folgt nun mit Burnside

$$\begin{array}{rl}|M/G|& =\frac{1}{|G|}\cdot \sum _{a\in G}{|}^{a}M|,\\ & =\frac{1}{8}\cdot ({|}^{e}M|+{|}^{r}M|+{|}^{r^2}M|+{|}^{r^3}M|+{|}^{s}M|+{|}^{rs}M|+{|}^{r^{2}s}M|+{|}^{r^{3}s}M|)\\ & =\frac{1}{8}(3^4+2\cdot 3+3\cdot 3^2+2\cdot 3^3)\\ & =\frac{1}{8}168\\ & =21.\end{array}$$

Bemerkung:
Wir haben in der Vorlesung gesehen, dass falls $H\le G$ mit $[G:H]=2$, dann folgt $H⊴G$. Wir wollen nun eine Verallgemeinerung beweisen.

Proposition:
Sei $G$ eine endliche Gruppe. Sei $p$ der kleinste Primfaktor von $|G|$ und $H\le G$ mit $[G:H]=p$. Dann gilt $H⊴G$.

Beweis:
Wir betrachten die Gruppenoperation

$$\begin{array}{rl}H\times G/H& \to G/H\\ (h,xH)& \mapsto h\circ xH=hxH.\end{array}$$

Wir bemerken, dass die Bahn von $H\in G/H$ nur aus einem Element besteht, da $hH=H$ für alle $h\in H$. Aus Teil (b) der obigen Proposition und da $|G/H|=[G:H]=p$ folgt, dass die anderen Bahnen maximal Länge $p-1$ haben. Aus Teil (d) der obigen Proposition folgt, dass die Länge der Bahnen $|H|$ teilt und somit auch $|G|$ teilt. Da $p$ der kleinste Primfaktor von $|G|$, haben somit alle Bahnen Länge 1. Das heisst, $\forall h\in H\forall x\in G$ gilt

$$h\circ xH=xH$$

und somit $hxH=xH$, was wiederrum $x^{-1}hxH=H$ impliziert. Aufgrund der Eigenschaften von Nebenklassen (Proposition aus letzter Woche) folgt nun $x^{-1}hx\in H$. Da $h\in H,x\in G$ beliebig waren folgt $H⊴G$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$