Algebra I Übung W03

Normalteiler

Definition:
Ist $N\le G$ und gilt $\forall x\in G$, $xN{x}^{-1}=N$ (oder äquivalenterweise $xN=Nx$), so ist $N$ ein Normalteiler von $G$. In diesem Fall schreiben $N⊴G$.

Proposition 1:
Seien $G,H$ Gruppen und $\phi :G\to H$ ein Homomorphismus. Dann gilt sowohl $\ker \phi \le G$ als auch $\phi (G)\le H$

Beweis von Proposition 1:
Da $e_G\in \ker \phi$ ist der Kern nicht leer. Seien $x,y\in \ker \phi$, dann gilt

$$\phi (x{y}^{-1})=\phi (x)(\phi (y){)}^{-1}=e_G(e_G{)}^{-1}=e_G,$$

und somit $x{y}^{-1}\in \ker \phi$. Dies zeigt $\ker \phi \le G$. Da $G$ nicht leer ist, ist auch $\phi (G)$ nicht leer. Seien $x,y\in G$, dann gilt

$$\phi (x)(\phi (y){)}^{-1}=\phi (x)\phi (y^{-1})=\phi (x{y}^{-1})\in \phi (G).$$

Somit bildet $\phi (G)$ eine Untergruppe von $H$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Bemerkung (Intuition):
Seien $G,H$ Gruppen und $\phi :G\to H$ ein Homomorphismus. Dann bilted $\phi (G)$ nach Proposition 1 eine Gruppe. Falls $\phi$ weder injektiv noch surjektiv ist, so ist $\phi (G)$ weder isomorph zu $G$ noch zu $H$. Wir haben somit eine neue Gruppestruktur endteckt. Wir bemerken, dass $\phi :G\to \phi (G)$ ein surjektiver Homomorphismus ist. Also ist das einzige, was $G$ und $\phi (G)$ unterscheidet der Kern des Homomorphismus $\ker \phi \le G$. Um die Gruppenstruktur von $\phi (G)$ in $G$ zu sehen, müssen wir also irgendwie den Kern $\ker \phi$ in der Gruppenoperation auf $G$ ignorieren.
Wir erinnern uns daran, dass wir in der Linearen Algebra eine ähnliche Situation hatten. Seien $V,W$ Vektorräume und $T:V\to W$ eine lineare Abbildung (Vektorraumhomomorphismus). Dann ist $\ker T$ und $T(V)$ ein Untervektorraum von $V$ respektive $W$. In dieser Situation haben wir dann durch Quotientenbildung $V/\ker T$ einen zu $T(V)$ isomorphen Vektorraum mit $V$ kreiert. So entstand also irgenwie das Konzept eines Quotientenraumes und in der Linearen Algebra ist dies mit einem beliebigen Untervektorraum möglich, wobei wir bemerken, dass der Kern einer linearen Abbildung immer ein Untervektorraum ist und umgekehrt existiert für jeden Untervektorraum eine lineare Abbildung mit entsprechendem Kern.
In der Gruppentheore stellt es sich heraus, dass die obige Eigenschaft nicht von beliebigen Untergruppen erfüllt ist sonder von Normalteilern.
In der Ringtheorie wird diese Rolle dann von den sogenannten Idealen übernommen.

Proposition 2: Sei $N\le G$, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) $N⊴G$
(2) $\forall g\in G:gN{g}^{-1}\subseteq N$
(3) Es existiert eine Gruppe $H$ und ein Gruppenhomomorphismus $\phi :G\to H$ mit $N=\ker \phi$.

Beweis von Proposition 2:
(1)$⟹$(2):
Per Definition haben wir Gleichheit.

(2)$⟹$(1):
Sei $g\in G$ beliebig. Mit unserer Annahme erhalten wir $gN{g}^{-1}\subseteq N$. Für die andere Inklusion verwenden wir unsere Annahme für das Element $g^{-1}$ und erhalten

$$N=(g{g}^{-1})N(g{g}^{-1})=g(g^{-1}Ng)g^{-1}\subseteq gN{g}^{-1}.$$

(1)$⟹$(3):
Wir definieren die natürliche Projektion auf die Faktorgruppe

$$\begin{array}{rl}\pi :G& \to G/N\\ g& \mapsto gN,\end{array}$$

und behaupten, dass $\ker \pi =N$ gilt (womit die Implikation gezeigt wäre). Sei $g\in G$, dann gilt

$$\begin{array}{rl}g\in \ker \pi & ⟺\pi (g)=eN\\ & ⟺gN=eN\\ & ⟺e^{-1}g\in N\\ & ⟺g\in N.\end{array}$$

(3)$⟹$(2):
Sei also $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus mit $N=\ker \phi$. Seien $g\in G$ und $n\in N$ beliebig, dann gilt

$$\phi (gn{g}^{-1})=\phi (g)\phi (n)\phi (g{)}^{-1}=\phi (g)e_H\phi (g{)}^{-1}=e_H.$$

Es folgt $gn{g}^{-1}\in N$ und somit die Implikation.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Bemerkung: Obiges motiviert die Definition des Normalteilers also durch die Frage: Wie charakterisiere ich den Kern eines Gruppenhomomorphismus? Wir können die Definition jedoch auch noch auf eine zweite Art motivieren und zwar mit folgender Frage. Wie definieren wir eine Gruppenstruktur auf einem Quotienten $G/H$? Die Elemente sind Nebenklassen von $H$, also von der Form $xH$ für $x\in G$. Eine natürliche Definition wäre

$$(xH)\cdot (yH):=(xy)H.$$

Es ist jedoch nicht klar, ob dies wohldefiniert ist, da diese von der Wahl des Representanten abhängen könnte. Die Frage ist also, gegeben $xH=\tilde{x}H$ und $yH=\tilde{y}H$, gilt dann $(xy)H=(\tilde{x}\tilde{y})H$?

Proposition 3:
Sei $G$ eine Gruppe und $H\le G$ eine Untergruppe. Dann ist obige binäre Operation auf $G/H$ wohldefiniert genau dann, wenn $H$ ein Normalteiler bildet. (Also ist $G/H$ mit obiger Operation eine Gruppe genau dann, wenn $H$ ein Normalteiler ist.)

Beweis von Proposition 3:
Angenommen $H$ ist ein Normalteiler und wir haben $x,\tilde{x},y,\tilde{y}\in G$ mit $xH=\tilde{x}H$ und $yH=\tilde{y}H$. Dann gilt

$$(xy)H=x(yH)=x(Hy)=x(H\tilde{y})=(xH)\tilde{y}=(\tilde{x}H)\tilde{y}=\tilde{x}(H\tilde{y})=\tilde{x}(\tilde{y}H)=(\tilde{x}\tilde{y})H,$$

womti die Operation wohldefiniert ist.

Nehmen wir nun an, dass die Operation wohldefiniert ist. Wir zeigen (2) aus Proposition 2, womit $H⊴G$ folgt. Seien dazu $g\in G$ und $h\in H$ beliebig. Wir bemerken, dass $hH=eH$ aufgrund einer Proposition aus letzer Woche gilt. Somit ist also $(eH)\cdot (gH)=(eg)H=gH$ gleich $(hH)\cdot (gH)=(hg)H$. Mit der selben Propsition aus letzer Woche schliessen wir $g^{-1}hg\in H$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Bemerkung:
Man könnte noch weiter gehen: Wir bemerken zuerst, dass $G/H$ eine Partition von $G$ bildet, also eine Äquivalenzrelation auf $G$. Mit diesem Gedanken im Hinterkopf betrachten wir eine beliebige Äquivalenrelation $\sim$ auf $G$. Wir definieren die natürliche Operation $[x]\cdot [y]=[xy]$ auf den Äquivalenzklassen. Es stellt sich heraus, dass diese Operation genau dann wohldefiniert ist, wenn $H=\left\{x\in G\mid x\sim e\right\}$ ein Normalteiler ist und $x\sim y⟺xH=yH$. Siehe Why do we define quotient groups for normal subgroups only? - Mathematics Stack Exchange für mehr Details.

Zentrum und Zentralisator

Definition:
Sei $G$ eine Gruppe und $a\in G$. Der Zentralisator $Z_G(a)$ von $a$ (in $G$) ist definiert als

$$Z_G(a):=\{x\in G\mid ax=xa\}.$$

Des weiteren, definieren wir das Zentrum von $G$ als

$$Z(G):=\bigcap _{a\in G}{Z}_G(a).$$

Fragen:
Sei $G$ eine Gruppe. Gelten folgende Aussagen? Beweise oder finde ein Gegenbeispiel.
(1) $\forall a\in G:Z_G(a)$ ist abelsch.
(2) $H\le G⟹Z(H)\le Z(G)$
(3) $H\le G⟹Z(G)\le Z(H)$

Antworten:
(1)
Nein, sei $G$ eine beliebige nicht-abelsche Gruppe mit Neutralelement $e\in G$. Dann gilt $eg=ge=g$ für alle $g\in G$ und somit $Z_G(e)=G$.

(2)
Nein, wir geben ein Gegenbeispiel. Sei $G=D_3$ generiert durch die Rotation $r\in G$ und die Spiegelung $s\in G$. Es gilt also $r^3=s^2=e$ und $sr{s}^{-1}=r^{-1}$. Wir betrachten $H=⟨r⟩\le G$. Dann ist $H\cong C_3$, also abelsch und somit $Z(H)=H\le G$. Jedoch gilt $Z(G)=\left\{e\right\}$. Wir beweisen noch $Z(G)=\left\{e\right\}$. Wir bemerken zuerst, dass ein beliebiges Element $g\in G$ als $g=r^i{s}^j$ mit $i,j\in \left\{0,1,2\right\}$ geschrieben werden kann. Sei nun $g\in Z(G)$ gegeben durch $g=r^i{s}^j$. Angenommen $g=r^i$, dann folgern wir

$$\begin{array}{rl}{r}^i& =s^2{r}^i\\ sg=gs& =s{r}^{i}s\\ s^2=e& =s{r}^i{s}^{-1}\end{array}$$

Andernfalls gilt $g=r^{i}s$ und wir erhalten analog

$$\begin{array}{rl}{r}^i& =r^i{s}^2\\ gs=sg& =s{r}^{i}s\\ s^2=e& =s{r}^i{s}^{-1}.\end{array}$$

Durch einsetzen von $i\in \left\{0,1,2\right\}$ schliessen wir, dass $i=0$. Da wir im Falle von $i=1,2$ einen Widerspruch zu $sr{s}^{-1}=r^{-1}$ erhalten. Also sind noch $g=e$ oder $g=s$ möglich. Falls $g=s$ so können wir $r=r{s}^2=srs$ foglern, ein Widerspruch. Es folgt $g=e$.

(3)
Nein, sei $G$ eine beliebige abelsche Gruppe und $H\le G$ eine echte Untergruppe (dies existiert, z.B. $G=C_{n^2}=⟨g⟩,H=⟨g^n⟩\cong C_n$). Dann gilt $Z(G)=G$ und $Z(H)=H$, aber $G$ ist keine Untergruppe von $H$.