Algebra I Übung W02

Organisatorisches

• Bitte markiert zwei Aufgaben in jeder Serie, bei denen euch eine genaue Korrektur helfen würde. So, kann ich mich auf diese fokusieren, falls es zeitlich mit der Korrektur knapp wird.
• Feedback unter: Feedback, Algebra I Übungsstunde
• Auch wenn ihr nicht bei mir eingeschrieben seid, dürft ihr bei mir das MC Quiz machen.
• Falls ihr Fragen habt bitte stellt diese. Genau dafür ist die Übungsstunde hier.
• Für das Quiz dürft ihr nur eure Notizen als Hilfsmittel nutzen.

Untergruppen

Definition: Sei $G$ eine multiplikative Gruppe. Eine nicht-leere Teilmenge $H\subseteq G$ heisst Untergruppe von $G$ falls für alle $x,y\in H$ gilt:

$$x{y}^{-1}\in H.$$

Bemerkung: Für eine Gruppe $G$ und $H\subseteq G$ gilt: $H$ bildet Untergruppe $⟺$ $H$ bildet Gruppe.

Definition: Sei $G$ eine Gruppe und $X\subseteq G$. Dann ist

$$⟨X⟩:=\bigcap _{H\le G,X\subseteq H}H$$

eine Untergruppe von $G$ und wir nennen sie die von $X$ erzeugte Untergruppe. Ist $X=\{a\}$ für ein $a\in G$, so schreiben wir $⟨a⟩$ für $⟨\{a\}⟩$.

Definition: Sei $G$ eine Gruppe mit Neutralelement $e$ und sei $x\in G$. Dann heisst die kleinste positive natürliche Zahl $n$ sodass gilt $x^n=e$ die Ordnung von $x$, bezeichnet mit $\mathrm{ord}(x)$. Falls es kein solches $n$ gibt, sei $\mathrm{ord}(x):=\infty$.

Proposition: Sei $G$ eine multiplikative Gruppe und $g\in G$. Dann gilt

$$⟨g⟩=\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Beweis:
Seien $a,b\in \{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ beliebig. So existieren $u,v\in \mathbb{Z}$, so dass $a=g^u,b=g^v$. Nun

$$a{b}^{-1}=g^u{g}^{-v}=g^{u-v}\underset{u-v\in \mathbb{Z}}{\in }\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

womit $\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}\le G$ gilt und insbesondere ist somit $\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ eine Untegruppe, welche $g$ enthält. So folgt

$$⟨g⟩\stackrel{\text{Def.}}{=}\bigcap _{\begin{array}{c}H\le G\\ g\in H\end{array}}H\subseteq \{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Sei nun $H\le G$ mit $g=g^1\in H$. Angenommen $g^n$ für $n\in \mathbb{N}$ ist in $H$. So ist weil $H$ eine Gruppe bildet und $g\in H$ auch $g^{n}g=g^{n+1}\in H$. Mit Induktion folgt also $\forall n\in \mathbb{N}:g^n\in H$, wobei $g^0=e\in H$. Weil $H$ eine Gruppe bildet existiert für jedes Element in $H$ ein eindeutiges Inverses, also gilt $\forall n\in \mathbb{N}$

$$g^{-n}{g}^n=g^{n-n}=g^0=e$$

und somit $(g^n{)}^{-1}=g^{-n}\in H$. Dies zeigt

$$\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}\subseteq H$$

und da $H$ eine beliebige Untergruppe von $G$ mit $g\in H$ war gilt

$$\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}\subseteq \bigcap _{\begin{array}{c}H\le G\\ g\in H\end{array}}H=⟨g⟩$$

womit die Behauptung folgt.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Korollar: Sei $G$ eine multiplikative Gruppe und $g\in G$ ein Element mit $\mathrm{ord}(g)=n<\infty$. Dann gilt $⟨g⟩=\left\{e,g,\dots ,g^{n-1}\right\}$. Des weiteren, sind die Elemente $e,g,\dots ,g^{n-1}$ paarweise verschieden.

Beweis:
Nach obiger Proposition gilt $⟨g⟩=\left\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Eine Inklusion ist also klar. Für die andere sei $k\in \mathbb{Z}$ beliebig. Es existiert ein $q\in \mathbb{Z}$ und ein $0\le r<n$, sodass $k=qn+r$ (Division mit Rest). Es folgt $g^k=g^{qn+r}=g^r$ und somit $⟨g⟩=\left\{e,g,\dots ,g^{n-1}\right\}$. Für den Zusatz seien $k,m\in \left\{0,\dots ,n-1\right\}$ mit $g^k=g^m$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir $k\le m$ annehmen. Es folgt also $g^{m-k}=e$ für $m-k\in \left\{0,\dots ,n-1\right\}$. Per Definition der Ordnung muss also $m-k=0$. (Wir haben somit die Kontraposition des Zusatzes gezeigt.)

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Proposition: Sei $G$ eine multiplikative Gruppe und $g\in G$ ein Element mit $\mathrm{ord}(g)<\infty$. Dann gilt

$$\mathrm{ord}(g)=m⟺\forall n\in \mathbb{N}:(g^n=e\leftrightarrow m|n).$$

Beweis:
Angenommen $\mathrm{ord}(g)=m$ und $n\in \mathbb{N}$. Falls $m|n$, so existiert ein $k\in \mathbb{N}$ mit $n=km$ und somit $g^n=(g^m{)}^k=e$. Falls $g^n=e$ gilt, so schreibe $n=mk+r$ für $k,r\in \mathbb{N}$ mit $0\le r<m$ (Division mit Rest) und wir erhalten $e=g^n=g^{mk+r}=g^r$. Mit dem Zusatz aus obigem Korollar folgt nun $r=0$ und somit $m|n$.

Nehmen wir nun die rechte Seite der zu zeigenden Äquivalenz an, so gilt $g^m=e$, da $m|m$. Es bleibt also zu zeigen, dass $m$ die kleinste positive Zahl ist, welche diese Eigenschaft erfüllt. Sei $n\in \left\{1,\dots ,m-1\right\}$, dann gilt $m\nmid n$ und mit unserer Annahme folgt $g^n\ne e$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Bemerkung: Falls $\mathrm{ord}(g)=\infty$, so gilt $g^k=g^j⟹k=j$ für $k,j\in \mathbb{Z}$.

Nebenklassen

Definition: Sei $G$ eine Gruppe. Für $H\le G$ und $x\in G$ sei

$$xH:=\{xh\mid h\in H\}\text{ und }Hx:=\{hx\mid h\in H\}$$

Die Mengen $xH$ und $Hx$ heissen links- bzw. rechts- Nebenklassen von $H$. Des weiteren definieren wir

$$G/H:=\{xH:x\in G\},H\setminus G:=\{Hx:x\in G\}.$$

Definition: Sei $G$ eine Gruppe und $H\le G$, dann ist $|G/H|=|H\setminus G|$ der Index von $H$ in $G$, bezeichnet mit $[G:H]$. Im Allgemeinen ist $xH\ne Hx$.

Bemerkung:
Man kann sich Nebenklassen als verschobene Untergruppen vorstellen. Wir betrachten als Beispiel $(\mathbb{Z},+,0)$. Sei $m\in \mathbb{Z}$ beliebig, dann ist $m\mathbb{Z}:=\left\{mk\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ eine Untergruppe. In diesem Fall bildet $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\left\{k+m\mathbb{Z}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ die Menge aller Restklassen modulo $m$. Im Falle von $m=3$ wie sehen wir die Nebenklassen als verschobene Untergruppen:

Blau markiert ist die Untergruppe $3\mathbb{Z}$ beziehungsweise die Nebenklasse $0+3\mathbb{Z}$. Die Nebenklassen $1+3\mathbb{Z}$ und $2+3\mathbb{Z}$ sind rot respketive grün markiert.

Dies ist analog zum Quotientenraum in der Linearen Algebra, wo wir die Elemente des Quotientenraumes auch Nebenklassen nannten. Im Falle von ${\mathbb{R}}^2/⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)⟩$ sind die Nebenklassen genau die (überabzählbar viele) verschobenen Geraden:

---
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: true
grid: true
---
U(x) = x
N1(x) = x+1
N2(x) = x+2
N3(x) = x+4
N4(x) = x-2
 

Satz (Lagrange):
Sei $G$ eine Gruppe und $H\le G$. Dann gilt

$$|G|=[G:H]\cdot |H|.$$

Falls zusätzlich $G$ eine endliche Gruppe ist, dann gilt $|H|||G|$.