Algebra I Übung W01

Organisatorisches

• Notizen verfügbar unter n.ethz.ch/~lceglie/.
• Bei Fragen könnt ihr mir jederzeit eine Email schreiben.
• Notenbonus via MC Quizes (15’ am Anfang jeder Übungsstunde beginnend in W02), siehe Beschreibung Algebra I Herbst 2024.
• Abgabe der Serien über Polybox bis Montag, dann Nachbesprechung jeweils Mittwochs. Link zur Abgabe Verfügbar auf n.ethz.ch/~lceglie/.

Gruppenaxiome

Definition:
Eine Gruppe ist ein Tripel $(G,\circ ,e)$ bestehend aus eine Menge $G$, einer Abbildung

$$\begin{array}{rl}\circ :G\times G& \to G\\ (a,b)& \mapsto a\circ b,\end{array}$$

und einem ausgezeichneten Element $e\in G$, so dass gilt:

• $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• $\forall a\in G:e\circ a=a$
• $\forall a\in G\exists \overline{a}\in G:\overline{a}\circ a=e$

Die Gruppe heisst kommutativ oder abelsch, wenn zusätzlich gilt:

• $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Proposition:
Sei $(G,\circ ,e)$ eine Gruppe. Dann gilt
(a) Jedes links-inverse von $x\in G$ ist auch rechts-inverses von $x$.
(b) Das ausgezeichnete Element $e$ ist rechts-neutral.
(c) Es existiert genau ein neutrales Element und zwar $e$.
(d) Jedes Element $x\in G$ hat genau ein inverses Element.
(c) Für alle $x,y,z\in G$ gilt $y=z$ genau dann, wenn $x\circ y=x\circ z$. (Kürzlungsregel links)
(d) Für alle $x,y,z\in G$ gilt $y=z$ genau dann, wenn $y\circ x=z\circ x$. (Kürzlungsregel rechts)
(e) Für jedes $x\in G$ gilt $\overline{\overline{x}}=x$.

Beweis:
Für $x\in G$ bezeichnen mit $\overline{x}$ das links-inverse (existiert per Definition einer Grupppe).
(a)

$$x\circ \overline{x}=e\circ (x\circ \overline{x})=(\overline{\overline{x}}\circ \overline{x})\circ (x\circ \overline{x})=\overline{\overline{x}}\circ \overline{x}=e.$$

(b)

$$x\circ e=x\circ (\overline{x}\circ x)=x.$$

(c)
Per Definition und (b) existiert eines. Angenommen es existiert ein weiteres neutrales element $e^{\prime }\in G$, dann

$$e^{\prime }=e\circ e^{\prime }=e.$$

(d)
Per Definition und (a) existiert eines. Angenommen ${\overline{x}}^{\prime }$ ist ein weiteres, dann

$${\overline{x}}^{\prime }={\overline{x}}^{\prime }\circ e={\overline{x}}^{\prime }\circ x\circ \overline{x}=\overline{x}.$$

(c/d) Übung
Eine Implikation folgt durch links/rechts Multiplikation mit $x$ und die andere mit links/rechts Multiplikation mit $\overline{x}$.

(e) Übung
Mit (a) gilt $x\circ \overline{x}=e$ und mit (d) folgt nun $\overline{\overline{x}}=x$.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Übung:
Bildet $(\mathbb{Z},+,0)$ eine Gruppe? Und wie siehts aus mit $(\mathbb{Z},\cdot ,1)$?

Definition:
Seien $(G,\circ ,1_G)$ und $(H,\bullet ,1_H)$ zwei Gruppen und sei $\phi :G\to H$ eine Abbildung der Menge $G$ in $H$. Dann ist $\phi$ ein Gruppenhomomorphismus falls gilt: $\forall x,y\in G$

$$\phi (\underset{\in G}{\underbrace{x\circ y}})=\underset{\in H}{\underbrace{\phi (x)\bullet \phi (y)}}.$$

Übung:
Seien $(G,\circ ,1_G)$ und $(H,\bullet ,1_H)$ zwei Gruppen und sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Beweise folgende Aussagen:
(a) Es gilt $\phi (1_G)=1_H$.
(b) Für jedes Element $x\in G$ gilt $\phi (\overline{x})=\overline{\phi (x)}$.

Lösung:
(a)
Es gilt

$$1_H\bullet \phi (1_G)=\phi (1_G)=\phi (1_G\circ 1_G)=\phi (1_G)\bullet \phi (1_G),$$

mit der Kürzungsregel folgt die Aussage.

(b)
Sei $x\in G$ beliebig, dann gilt mit (a)

$$1_H=\phi (1_G)=\phi (x\circ \overline{x})=\phi (x)\bullet \phi (\overline{x}),$$

mit der Eindeutigkeit des inversen Elements folgt die Aussage.

$$\begin{array}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}□}$$

Übung:
Sei $G=\left\{e,a,b,c\right\}$ eine Menge mit genau vier Elementen. Wie viele verschiedene Abbildungen $\circ :G\times G\to G$ gibt es, welche $(G,\circ ,e)$ zu einer Gruppe machen?

Lösung:
Diese Frage lässt sich zum Beispiel mit Hilfe einer sogenannten Verknüpfungstabelle (Cayley table) beantworten. Wir nutzen zuerst, dass $e$ ein neutrales Element ist und erhalten:

$$\begin{array}{ccccc}\circ & e& a& b& c\\ e& e& a& b& c\\ a& a& & & \\ b& b& & & \\ c& c& & & \end{array}$$

Mit Hilfe der Kurzüngsregel sehen wir, dass in einer Zeile/Spalte jedes Element genau ein mal vorkommt. Wir unterscheiden nun Fälle.
Fall 1: $a\circ a=b$. Also haben wir

$$\begin{array}{ccccc}\circ & e& a& b& c\\ e& e& a& b& c\\ a& a& b& & \bullet \\ b& b& & & \\ c& c& & & \end{array}$$

und sehen, dass mit obiger Regel bei $\bullet$ ein $e$ stehen muss, $a,b$ ist durch die Zeile gesperrt und $c$ durch die Spalte. Der rest der Tabelle ergibt sich durch wiederholter Anwendung dieser Regel und wir erhalten:

$$\begin{array}{ccccc}\circ & e& a& b& c\\ e& e& a& b& c\\ a& a& b& c& e\\ b& b& c& e& a\\ c& c& e& a& b\end{array}$$

Fall 2: $a\circ a=c$. Dieser ist derselbe nach Umbenennung der Elemente (vor der Fallunterscheidung sich $b,c$ nicht zu unterscheiden bezüglich $\circ$), beziehungsweise, lässt sich einfach eine Isomorphie zwischen den zwei angeben.

Fall 3: $a\circ a=a$. Mit der Kürzungsregel folgt ein Widerspruch.
Fall 4: $a\circ a=e$. Hier kann man analog wie im ersten Vorgehen und erhält in einem ersten Schritt

$$\begin{array}{ccccc}\circ & e& a& b& c\\ e& e& a& b& c\\ a& a& e& c& b\\ b& b& c& & \\ c& c& b& & \end{array}$$

Falls wir $b\circ b=a$ setzen, so landen wir nach Vertauschung/Umbenennung von $a$ und $b$ wieder in Fall 1. Falls $b\circ b=e$ (was die einzige andere Option ist) erhlaten wir eine weiter Gruppe mit Verknüfpungstabelle

$$\begin{array}{ccccc}\circ & e& a& b& c\\ e& e& a& b& c\\ a& a& e& c& b\\ b& b& c& e& a\\ c& c& b& a& e\end{array}$$

Da ein Gruppenisomorphismus die Ordnung der Elemente erhält, sieht man das die zwei Gruppen die wir angegeben haben tatsächlich verschieden sind, also nicht isomorph zueinander (In der ersten hat $a$ Ordnung vier und in der zweiten haben alle Elemente Ordnung $\le 2$). So haben wir gezeigt, dass es, bis auf Isomorphie, genau zwei Gruppen der Ordnung vier gibt.

Übung: (Sudoku für Mathematiker)
Vervollständige die Verknüpfungstafel auf der Menge $G:=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$, sodass $(G,\circ )$ eine Gruppe bildet. Welches ist das Einselement? Ist die Gruppe kommutativ?

$$\begin{array}{ccccccc}\circ & 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 2& & & & & \\ 2& & & & & & \\ 3& & & & & 4& \\ 4& 5& & & 6& & \\ 5& & 5& & & & 3\\ 6& & & 5& & & \end{array}$$

Lösung: metaphor.ethz.ch/x/2022/hs/401-2003-00L/ex/S1L.pdf