Algebra I, MC13

Wir verwenden die universelle Eigenschaft von Polynomen. Betrachte $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{C}$ und die Abbildung

$$\begin{array}{rl}{\phi }_s:\mathbb{Q}[X]& \to \mathbb{Q}[s]\\ f(X)& \mapsto f(s)\end{array}$$

für $s\in \left\{1,e,e^{2\pi i/3}\right\}$. In allen Fällen ist ${\phi }_s$ surjektiv.
(a) Richtig, für $s=1$ sehen wir, dass $\ker {\phi }_1=(X-1)$. Mit dem ersten Isomorphiesatz folgt nun die Aussage.
(b) Richtig, $e$ ist transzendent, per Definition ist somit $\ker {\phi }_e=(0)$ und ${\phi }_e$ ein Isomorphismus. Äquivalent gilt, dass kein nicht-triviales Polynom $f(X)$ mit rationalen Koeffizienten existiert, so dass $f(e)=0$.
(c) Richtig, wir wollen wieder $\ker {\phi }_{e^{2\pi i/3}}$ bestimmen. Wir bemerken, dass $e^{2\pi i/3}$ eine Nullstelle von $1+X+X^2$ ist (Skizze). Da $(e^{2\pi i/3}{)}^4=e^{2\pi i/3+2\pi i}=e^{2\pi i/3}$ sehen wir, dass $e^{2\pi i2/3}$ die andere Nullstelle von $1+X+X^2$ ist. Somit hat $1+X+X^2$ keine Nullstellen ist $\mathbb{Q}$, dieses Polynom ist also irreduzibel. Aus dem Beweis von Theorem 2 aus den Notizen von W13 erhalten wir, dass $(1+X+X^2)$ maximal ist. Weiter bemerken wir, dass jedes Polynom in $(1+X+X^2)$ von ${\phi }_{e^{2\pi i/3}}$ auf die Null geschickt wird. Wir haben also $(1+X+X^2)\subseteq \ker {\phi }_{e^{2\pi i/3}}$. Da zum Beispiel $f(X)=1$ nicht auf die Null geschickt wird ist der Kern nicht ganz $\mathbb{Q}[X]$. Maximalität von $(1+X+X^2)$ impliziert nun, dass $(1+X+X^2)=\ker {\phi }_{e^{2\pi i/3}}$, womit die Aussage folgt.
(d) Falsch, bemerke $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$. Weiter bemerken wir, dass $X-1$ und $X^2+X+1$ teilerfremd sind ($(-X-2)(X-1)+(X^2+X+1)=3$). Also sind auch die Ideal $(X-1)$ und $(X^2+X+1)$ teilerfremd. Da $\mathbb{Q}[X]$ kommutativ ist gilt also

$$(X-1)\cap (X^2+X+1)=(X-1)\cdot (X^2+X+1)=(X^3-1).$$

Nun folgt mit dem Chinesischen Restsatz

$$\mathbb{Q}[X]/(X^3-1)\cong \mathbb{Q}[X]/(X-1)\oplus \mathbb{Q}[X]/(X^2+X+1).$$

Da also (c) richtig ist, muss (d) falsch sein.

Die Vorgehensweise ist ganz Analog zu 51. (a-c) folgen mit obiger Strategie. Für (d) bemerken wir, dass

$$X^8-1=(X^4+1)(X^2+1)(X-1)(X+1).$$

Eine Rechnung zeigt, dass diese alle teilerfremd sind. Nun liefert wieder der Chinesische Restsatz, dass

$$\mathbb{Z}[X]/(X^8-1)\cong \mathbb{Z}[X]/(X^4+1)\oplus \mathbb{Z}[X]/(X^2+1)\oplus \mathbb{Z}[X]/(X-1)\oplus \mathbb{Z}[X]/(X+1).$$

Wir wissen, dass $\mathbb{Z}[X]/(X^2+1)\cong \mathbb{Z}[i]$ und $\mathbb{Z}[X]/(X-1)\cong \mathbb{Z}$, womit (d) falsch sein muss.

Wir haben gesehen, dass für ein Integritätsring $R$, $R[X]$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn $R$ ein Körper ist. Weiter, wissen wir, dass $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ genau dann ein Körper ist, wenn $n$ prim ist.
(a) Richtig, 19 ist prim
(b) Falsch, 100 ist nicht prim
(c) Falsch, $\mathbb{Z}[i]$ ist kein Körper (z.B. ist 2 nicht invertierbar)
(d) Richtig, $\mathbb{C}$ ist ein Körper.

Wir suchen Inklusionen von Erzeugern. Mit $(Y-X)(Y+X)+X^2+Y^2=Y^2$ und $-(Y-X)(Y+X)+Y^2=X^2$ sehen wir, dass die Ideale von (a), (b) und (c) gleich sind. Somit muss es (c) sein.

Das vorgehen ist analog zu 54. Bemerke, dass $1+X^2-(1-X{)}^2=2X$, womit (a) und (b) gleich sind. Da $-(-X+X^3)+(1+X^3)=1+X$ sehen wir, dass (d) auch gleich (a) und (b) ist. Es folgt (c).