Algebra I, MC12

Wir bemerken zuerst, dass $39=3\cdot 13$, $65=5\cdot 13$ und $91=7\cdot 13$. Wir würden gerne den Chinesischen Restsatz anwenden, doch die Ideale sind hier nicht teilerfremd. Wir bemerken jedoch, dass der Rest entweder $4$ oder $4+13$ ist. Wenn wir nun $k$, so wählen, dass $k\cdot 3\cdot 5\equiv 1\mathrm{mod}7$, so ist

$$N=4+(k\cdot 3\cdot 5)\cdot 13+n\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 13,$$

für jedes $n\in \mathbb{Z}$ ein Kandidat. Man sieht, dass modulo $3\cdot 13$ und module $5\cdot 13$ erhalten wir die Restklasse von 4. Weiter sehen wir, dass $N\equiv 17\mathrm{mod}91$ aufgrund unserer Wahl von $k$. Es folgt

(a) Richtig, allein die erste Gleichung impliziert $N\equiv 4\mathrm{mod}13$.
(b) Falsch, vergleiche obiges für $n=0$ und $n=1$. Konkret haben wir für $n=0$, $N=199\equiv 199\mathrm{mod}315$ und für $n=1$ erhalten wir $N=1564\equiv 304\mathrm{mod}315$.
(c) Falsch
(d) Richtig

Für eine alternative (und systematischere) Lösungsstrategie siehe elementary number theory - What to do if the modulus is not coprime in the Chinese remainder theorem? - Mathematics Stack Exchange.

(a) Falsch, betrachte das Ideal $(X)$ in $\mathbb{Z}[X]$. Dann ist $\mathbb{Z}[X]/(X)\cong \mathbb{Z}$ ein Integritätsring aber kein Körper.
(b) Falsch, siehe (d)
(c) Richtig, da $\mathbb{Z}$ kein Körper ist, ist das triviale Ideal nicht maximal.
(d) Richtig, wir wissen dass die $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ genau dann ein Körper ist, wenn $p$ prim ist. Somit sind $p\mathbb{Z}$ für $p$ prim genau die maximalen Ideale von $\mathbb{Z}$. Seien nun $p,q$ zwei verschiedene Primzahlen. Dann gilt $p\mathbb{Z}\cap q\mathbb{Z}=pq\mathbb{Z}$ und wir sehen, dass $p\cdot q\in pq\mathbb{Z}$ aber weder $p$ noch $q$ liegt in $pq\mathbb{Z}$.

(a) Falsch, $\mathbb{Q}$ ist kein Ideal in $\mathbb{Q}[X]$, $X\cdot 1\notin \mathbb{Q}$.
(b) Falsch, da $5$ teilerfremd zu $21$ ist, erzeugt es den ganzen Ring $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$. Der Quotient ist also trivial und somit per Definition kein Integritätsring
(c) Richtig, bemerke, dass $(\overline{3})=3\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ und nun folgt mit dem dritten Isomorphiesatz

$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/21\mathbb{Z})/(3\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}).$$

Da $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ein Körper ist, folgt dass $(\overline{3})$ sogar maximal ist.
(d) Richtig, $\mathbb{C}/(\overline{0})\cong \mathbb{C}$ ein Körper.

(a) Falsch, falls $S$ nicht trivial ist, so ist $1_R\notin \ker \phi$, also bildet $\ker \phi$ keinen Unterring im Allgemeinen. $\ker \phi$ bildet jedoch immer ein Ideal!!
(b) Richtig, definition prüfen.
(c) Richtig, siehe Aufgabe 56 Serie 10 (oder einfach Defintion prüfen)
(d) Richtig, siehe Aufgabe 56 Serie 10 (oder einfach Defintion prüfen)

(a) Falsch, ein Ideal bildet per Definition eine additive Untergruppe und ist somit stets nicht leer.
(b) Falsch, da $\mathbb{N}$ keinen Ring bildet ist dies nicht definiert.
(c) Richtig, es gilt $(p)=p\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ bildet einen Körper. Also bildet $(p)$ sogar ein maximales Ideal.
(d) Richtig, sei $x$ ein nilpotentes Element und $n\ge 1$, sodass $x^n=0$. Dann gilt $x\cdot x^{n-1}=0\in \mathfrak{p}$, also ist entweder $x\in \mathfrak{p}$ oder $x^{n-1}\in \mathfrak{p}$. Falls $x\in \mathfrak{p}$, so sind wir fertig. Falls $x^{n-1}\in \mathfrak{p}$, dann wiederholen wir das Argument und erhalten, dass $x\in \mathfrak{p}$ oder $x^{n-2}\in \mathfrak{p}$. Durch ernaute Wiederholung sehen wir, dass spätestens wenn $n-k=1$ gilt sind wir fertig.