Algebra I, MC11

(a) Falsch, für ein Unterring $S\subseteq \mathbb{Z}$ gilt per Definition immer $1\in S$.
(b) Richtig, für jeden Unterring $S\subseteq \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ gilt $1\in S$ und da $1$ ein additiver Erzeuger ist folgt $S=\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$.
(c) Richtig, sei $I\subseteq \mathbb{Z}$ ein Ideal mit $17\mathbb{Z}\subseteq I\subseteq \mathbb{Z}$. Wir wissen, dass $\mathbb{Z}$ ein Hauptidealring ist (Beweis repetieren?). Sei $x\in \mathbb{Z}$, sodass $I=x\mathbb{Z}$. Da $17\in x\mathbb{Z}$, folgt $x|17$. Da $17$ prim ist, folgt $x\in \left\{1,17\right\}$. Also gilt entweder $I=17\mathbb{Z}$ oder $I=\mathbb{Z}$, womit $17\mathbb{Z}$ maximal ist.
(d) Richtig, dies gilt sogar für Ideale $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ ein einem beliebigen kommutativen Ring.

(a) Falsch, falls $\mathfrak{a}=(0)$, so gilt $1\notin S\cap \mathfrak{a}$, somit dies keinen Unterring definiert.
(b) Richtig, (gesehen im Beweis von 1. Isomorphiesatz?) der Schnitt von additiven Untergruppen ist wieder eine additive Untergruppe. Multiplikation mit Elementen aus $S\subseteq R$ gibt wieder Elemente in $S\cap \mathfrak{a}$.
(c) Richtig, (gesehen im Beweis von 1. Isomorphiesatz?) da die additive Gruppe abelsch ist, ist die Summe zweier additiver Untergruppen wieder eine additive Untergruppe. Da $1,0\in S$ und $0\in \mathfrak{a}$, sehen wir, dass $0,1\in S+\mathfrak{a}$. Schlussendlich zeigt eine Rechnung, dass $S+\mathfrak{a}$ abgeschlossen ist unter Multiplikation.
(d) Falsch, falls $S$ ein echter Unterring ist und $\mathfrak{a}=(0)$, so ist $1\in S+\mathfrak{a}$, aber $S+\mathfrak{a}\ne R$.

(a) Richtig, wir wissen, dass die einzigen Ideal in eine Körper $(0),(1)$ sind.
(b) Falsch, ein Hauptidealring ist per Definition nicht trivial.
(c) Falsch, betrachte das Ideal $(2,T)$. Angenommen es existiert $f\in \mathbb{Z}[T]$, so dass $(f)=(2,T)$. Dann folgt $f|2$ und $f|T$. Aus $f|2$ erhalten wir, dass $\mathrm{deg}(f)=0$ und aus $f|T$ erhalten wir, dass der Leitkoeffizient von $f$ gleich 1 sein muss. Es folgt $f=1$ ein Widerpsruch zu $(2,T)\ne \mathbb{Z}[T]$.
(d) Richtig, siehe Vorlesung (Beweis wiederholen?)

(a) Falsch, $1\in \mathbb{Q}$, aber $\mathbb{Q}\ne \mathbb{C}$.
(b) Falsch, $1\in \mathbb{Z}$, aber $\mathbb{Z}\ne \mathbb{Z}[i]$
(c) Falsch, mit $a=0,b=1$ folgt, dass $i$ in dieser Menge enthalten ist, aber $i^3\cdot i=1$.
(d) Richtig, dies entspricht gerade dem von $\overline{3}$ erzeugtem Hauptideal.

(a) Richtig, per Definition.
(b) Falsch, im allgemeinen gilt $\phi (R^{\ast })\subseteq S^{\ast }$ jedoch keine Gleichheit. Falls zum Beispiel $R$ und $S$ nicht-trivial.
(c) Richtig, falls $R=0$, so gilt $1_R=0_R$. Für jede Homomorphismus gilt der Definition $\phi (1_R)=1_S$ und $\phi (0_R)=0_S$. Es folgt $1_S=0_S$, somit $S$ trivial ist.
(d) Falsch, die triviale Abbildung, welche alles auf die Null schickt definiert falls $S=0$ einen Ringhomomorphismus, auch wenn $R$ nicht trivial ist.