Algebra I, MC03

(a) Richtig, setze $H_1=\left\{e_1\right\}$ und $H_2=\left\{e_2\right\}$.
(b) Falsch, für $n=8$ existiert keine normale Untergruppe. Die einzigen Untergruppen der Ordnung $8$ ($⟨r^5,s⟩,⟨r^5,rs⟩,\dots ,⟨r^5,r^{4}s⟩$) ist isomorph zu $D_4$ (Unterteile das 20-Eck in 4 Gruppen von 5 Ecken) und es existieren genau 5 von denen, welche alle konjugiert zueinander sind, somit nicht normal. Man kann zeigen (das machen wir vielleicht mal in einem Exkurs), die einzigen echten normalen Untergruppen von $D_n$ gegeben sind durch $⟨r^d⟩$ für $d|n$, falls $n$ ungerage. Und falls $n$ gerade so kommen lediglich die Untergruppen $⟨r^2,s⟩$ und $⟨r^2,rs⟩$ von Index 2 hinzu.
(c) Richtig, da $|G|=5\cdot 17$, sind $5,17,85$ alle möglichen Ordnungen von $a,b\in G\setminus \left\{e\right\}$. Falls $a$ oder $b$ Ordnung $85$ hat, so gilt $⟨a,b⟩=G$. Falls nicht, so gilt oBda $\mathrm{ord}(a)=5,\mathrm{ord}(b)=17$. Da diese teilerfremd sind gilt $\mathrm{ord}(ab)=85$ und somit wieder $⟨a,b⟩=G$.

(a) Richtig, $Z_G(H)$ sind all die Elemente in $G$, welche mit allen Elementen aus $H$ kommutieren. Wenn wir nun $Z_G(Z_G(H))$ betrachten, so sind da sicher aller Elemente von $H$ enthalten.
(b) Richtig, für $x\in H$ gilt da $H$ abelsch ist $\forall h\in H:hx=xh$, somit $x\in Z_G(H)$.
(c) Richtig, $Z(H)=\left\{x\in H\mid \forall h\in H:hx=xh\right\}\subseteq \left\{x\in G\mid \forall h\in H:hx=xh\right\}=Z_G(H)$.
(d) Falsch, betrachte $H=\left\{e\right\}\le G$ für eine beliebige nicht-abelsche Gruppe. Dann gilt $Z_G(H)=G$, aber $Z(G)⊊G$.

(a) Richtig, da $H,K$ beide Primzahlordnungen haben und diese verschieden sind gilt $H\cap K=\left\{e\right\}$. Da $K$ ein Normalteiler ist, gilt $hk{h}^{-1}\in K$ und somit $hk{h}^{-1}{k}^{-1}\in K$. Da $H$ auch ein Normalteiler ist folgt analog $hk{h}^{-1}{k}^{-1}\in H$. Es folgt $hk{h}^{-1}{k}^{-1}=e$.
(b) Richtig, äquivalent zu (a).
(c) Falsch, betrachte $G=C_2\times C_3\times C_5$, $H=C_2\times \left\{e\right\}\times \left\{e\right\}$ und $K=\left\{e\right\}\times C_3\times \left\{e\right\}$. Da $G$ abelsch ist sind beides $H$ und $K$ Normalteiler mit $|H|=2$ und $|K|=3$. Jedoch gilt $HK\ne G$.

Bemerke $C\cong S_4$ und $|C|=24$.
(a) Falsch, Drehungen um $\pi$ durch Seitenmittelpunkte erzeugen eine Untergruppe, welche isomorph zu $C_2\times C_2$ ist. Diese hat Index $6$.
(b) Falsch, $C$ hat keine Untergruppe isomorph zu $C_8$.
(c) Falsch, $S_3\le S_4$.
(d) Richtig, siehe (c)

Siehe Serie 02 Aufgabe 20 für alle Antworten.
(a) Richtig
(b) Richtig
(c) Falsch
(d) Falsch