Algebra I, MC01

(a) Richtig, analog links-Axiome.
(b) Falsch, dies wurde in der Vorlesung bewiesen. Betrachte $S=\left\{e,a\right\}$ mit $x\circ y:=y$.
(c) Richtig, wir beweisen die Aussage. Wir wollen zeigen, dass jedes Element auch ein links-Inverses besitzt. Angenommen für $z\in G$ gilt $z\circ z=z$. Dann folgt für ein beiebiges $y\in G$:

$$z\circ y=z\circ \underset{=e}{\underbrace{(z\circ \overline{z})}}\circ y=z\circ \overline{z}\circ y=y.$$

Somit ist $z$ links-neutral und aufgrund unserer Eindeutigskeitsannahme folgt $z=e$. Nun bemerken wir, dass für beliebiges $x\in G$ gilt

$$(\overline{x}\circ x)\circ (\overline{x}\circ x)=\overline{x}\circ (x\circ \overline{x})\circ x=\overline{x}\circ x.$$

Mit obigem also $\overline{x}\circ x=e$. Also ist jedes recht-Inverse auch ein links-Inverses und $G$ bildet somit eine Gruppe.

(a) Falsch, im Allgemeinen nicht mal eine Gruppe. Betrachte den Fall $n=2$ und $g=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\in M$. Das Inverse dieser Matrix ist $\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$, diese liegt aber nicht in $M$, da $-2\notin \mathbb{N}$.
(b) Falsch, (a).
(c) Richtig, die Menge der $n\times n$ Matrizen mit Koeffizienten aus $\mathbb{N}$, ist die Menge aller Funktionen von $\left\{1,\dots ,n\right\}\times \left\{1,\dots ,n\right\}\to \mathbb{N}$. Falls $n=0$, so besteht die Menge aus genau einem Element. Mit der Leibniz-Formel als Definition der Determinante hat dieses Element Determinante $1$. Somit besteht $M$ aus genau einem Element und bildet also eine Gruppe. Im Fall von $n=1$ existieren unendliche viele solche Funktionen bzw. Matrizen, aber nur die 1 Funktion hat Determinante 1. Es folgt, dass wiederrum $M$ aus genau einem Element besteht.
(d) Falsch, (c)

(a) Richtig, da 23 prim ist folgts mit Aufgabe 10.
(b) Falsch, $C_3\times C_3\ncong C_9$ folgt mit Aufgabe 7.
(c) Richtig, Aufgabe 7.
(d) Richtig, $\phi :\mathbb{Z}\to \left\{e^{iz}\mid z\in \mathbb{Z}\right\},k\mapsto e^{ik}$ definiert einen Isomorphismus.

(a) Falsch, nach einer Proposition aus der Übungsstunde ist, falls $G=⟨g⟩$, jedes Element eine Potenz von $g$. Da $g$ mit sich selbst kommutiert, kommutieren alle Elemente.
(b) Richtig, Aufgabe 5.
(c) Richtig, $C_3\times C_3\ncong C_9$.
(d) Richtig, nach mehrfacher Anwendung von Aufgabe 7 folgt $C_8\times C_{25}\times C_9\cong C_{8\cdot 25\cdot 9}$.

(a) Richtig, da $G$ endlich ist die Menge $G$ selbst ein endlicher Erzeuger.
(b) Richtig, per Definition von zyklisch.
(c) Falsch, betrachte $(\mathbb{Z},+,0)$. Es gilt $\mathbb{Z}=⟨1⟩$.